Номер 20.19, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.19, страница 115.

Условие.

20.19 Определите с помощью графического метода число решений системы уравнений:

а) $y = \frac{2}{x},$

$2x - 3y - 6 = 0;$

б) $y = \frac{3}{x},$

$x - 2y - 2 = 0;$

в) $y = -\frac{1}{x},$

$x - 5y = 0;$

г) $y = \frac{4}{x},$

$3x - 4y + 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ 2x - 3y - 6 = 0 \end{cases}$

Для решения графическим методом необходимо построить графики обеих функций в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

1. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.

2. График уравнения $2x - 3y - 6 = 0$ — это прямая. Для построения приведем уравнение к виду $y = mx+b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом):

$3y = 2x - 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Это прямая с угловым коэффициентом $m = \frac{2}{3}$ и точкой пересечения с осью ординат $(0, -2)$. Найдем еще одну точку для построения, например, точку пересечения с осью абсцисс:

Если $y=0$, то $0 = \frac{2}{3}x - 2 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 2 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.

Прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(3, 0)$, пересекает I, III и IV четверти. Гипербола расположена в I и III четвертях. Следовательно, прямая пересекает обе ветви гиперболы. Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$

1. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. График уравнения $x - 2y - 2 = 0$ — это прямая. Приведем уравнение к виду $y = mx+b$:

$2y = x - 2$

$y = \frac{1}{2}x - 1$

Найдем две точки для построения прямой:

• Если $x=0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Если $y=0$, то $0 = \frac{1}{2}x - 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Прямая проходит через I, III и IV четверти. Гипербола расположена во II и IV четвертях. Пересечение возможно только в IV четверти. Однако, если мысленно или на эскизе построить графики, можно увидеть, что прямая не пересекает ветвь гиперболы. Чтобы убедиться в этом, можно подставить выражение для $y$ из одного уравнения в другое:

$x - 2(-\frac{3}{x}) - 2 = 0$

$x + \frac{6}{x} - 2 = 0$

Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$x^2 - 2x + 6 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ x - 5y = 0 \end{cases}$

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

2. График уравнения $x - 5y = 0$ — это прямая. Выразим $y$ через $x$:

$5y = x$

$y = \frac{1}{5}x$

Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$, с положительным угловым коэффициентом. Она расположена в I и III четвертях.

Графики функций расположены в разных четвертях: гипербола во II и IV, а прямая в I и III. Они не пересекаются, так как не имеют общих областей, кроме начала координат, но в точке $(0,0)$ функция $y = -1/x$ не определена. Следовательно, точек пересечения нет.

Проверим это аналитически, приравняв выражения для $y$:

$-\frac{1}{x} = \frac{1}{5}x$

Умножим обе части на $5x$ (при $x \neq 0$):

$-5 = x^2$ или $x^2 = -5$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: 0 решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ 3x - 4y + 12 = 0 \end{cases}$

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Коэффициент $k=4 > 0$, поэтому ветви расположены в I и III координатных четвертях.

2. График уравнения $3x - 4y + 12 = 0$ — это прямая. Выразим $y$:

$4y = 3x + 12$

$y = \frac{3}{4}x + 3$

Найдем точки пересечения прямой с осями координат:

• Если $x=0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $y=0$, то $0 = \frac{3}{4}x + 3 \Rightarrow \frac{3}{4}x = -3 \Rightarrow x = -4$. Точка $(-4, 0)$.

Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(-4, 0)$, пересекая I, II и III четверти. Гипербола расположена в I и III четвертях. Из расположения графиков следует, что прямая должна пересекать обе ветви гиперболы, одну в I четверти, другую в III. Таким образом, система имеет два решения.

Для подтверждения решим систему аналитически:

$\frac{4}{x} = \frac{3}{4}x + 3$

Умножим обе части на $4x$ (при $x \neq 0$):

$16 = 3x^2 + 12x$

$3x^2 + 12x - 16 = 0$

Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 144 + 192 = 336$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что подтверждает наличие двух точек пересечения графиков.

Ответ: 2 решения.