Номер 20.23, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.23, страница 116.

Условие.

20.23 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \le -1; \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } -1 < x \le 1. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-4)$, $f(-1)$, $f(1)$;

б) значения $x$, при которых $f(x) = -2$, $f(x) = 0$, $f(x) = -\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика кусочной функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $x \le -1$ функция задается формулой $y = \frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы. Для построения найдем несколько точек:

• Если $x = -1$, то $y = \frac{4}{-1} = -4$. Точка $(-1, -4)$ принадлежит графику.
• Если $x = -2$, то $y = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-2, -2)$.
• Если $x = -4$, то $y = \frac{4}{-4} = -1$. Точка $(-4, -1)$.

2. На промежутке $-1 < x \le 1$ функция задается формулой $y = -\frac{1}{2}x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах промежутка и в вершине:

• Если $x \to -1$ (справа), то $y \to -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2}$. Точка $(-1, -0.5)$ не принадлежит графику, так как неравенство строгое, поэтому на графике она будет "выколотой".
• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2}(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ — вершина параболы.
• Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{1}{2}$. Точка $(1, -0.5)$ принадлежит графику.

Построим график, объединив эти две части. Он будет состоять из ветви гиперболы, начинающейся в точке $(-1, -4)$, и фрагмента параболы от выколотой точки $(-1, -0.5)$ до точки $(1, -0.5)$, проходящего через начало координат.

а) f(-4), f(-1), f(1);

Найдем значения функции с помощью графика (или подставляя значения аргумента в соответствующую формулу):

• Точка $x = -4$ удовлетворяет условию $x \le -1$, значит, используем формулу $f(x) = \frac{4}{x}$. $f(-4) = \frac{4}{-4} = -1$.
• Точка $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le -1$, значит, используем формулу $f(x) = \frac{4}{x}$. $f(-1) = \frac{4}{-1} = -4$.
• Точка $x = 1$ удовлетворяет условию $-1 < x \le 1$, значит, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{2}x^2$. $f(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $f(-4) = -1$, $f(-1) = -4$, $f(1) = -\frac{1}{2}$.

б) значения x, при которых f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = -1/2.

Для нахождения значений $x$ по заданным значениям функции $f(x)$ нужно определить, какой части графика принадлежат эти значения, и решить соответствующее уравнение.

• Найдем $x$ при $f(x) = -2$.
  Проведем на графике горизонтальную прямую $y = -2$. Она пересекает ветвь гиперболы.
  Решим уравнение $\frac{4}{x} = -2$. Отсюда $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \le -1$.
  Уравнение $-\frac{1}{2}x^2 = -2$ дает $x^2 = 4$, то есть $x = \pm 2$, что не входит в интервал $-1 < x \le 1$.
  Следовательно, только $x=-2$.
• Найдем $x$ при $f(x) = 0$.
  Прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график в вершине параболы.
  Уравнение $\frac{4}{x} = 0$ не имеет решений.
  Решим уравнение $-\frac{1}{2}x^2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $-1 < x \le 1$.
  Следовательно, только $x=0$.
• Найдем $x$ при $f(x) = -\frac{1}{2}$.
  Прямая $y = -\frac{1}{2}$ пересекает обе части графика.
  1) Пересечение с гиперболой: $\frac{4}{x} = -\frac{1}{2}$, отсюда $x = -8$. Это значение удовлетворяет условию $x \le -1$.
  2) Пересечение с параболой: $-\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}$, отсюда $x^2 = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$. Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $-1 < x \le 1$. Значение $x = -1$ не удовлетворяет этому условию (неравенство строгое).
  Следовательно, получаем два решения: $x = -8$ и $x = 1$.

Ответ: при $f(x)=-2$ имеем $x=-2$; при $f(x)=0$ имеем $x=0$; при $f(x)=-\frac{1}{2}$ имеем $x=-8$ и $x=1$.