Номер 20.27, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.27, страница 117.

Условие.

20.27 Пусть C — наименьшее значение функции $y = -\frac{1}{x}$ на луче $[1; +\infty)$,

а D — наибольшее значение функции $y = 2x^2$ на отрезке $[0; 1]$.

Сравните C и D. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение наименьшего значения C

Задана функция $y = -\frac{1}{x}$ на луче $[1; +\infty)$.
Чтобы найти наименьшее значение функции на данном промежутке, исследуем ее на монотонность. Для этого найдем производную функции:
$y' = \left(-\frac{1}{x}\right)' = (-x^{-1})' = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
На луче $[1; +\infty)$ значение $x$ всегда положительно, следовательно, $x^2$ также всегда положителен. Таким образом, производная $y' = \frac{1}{x^2}$ всегда положительна ($y' > 0$) на заданном промежутке.
Если производная функции положительна на промежутке, то функция является возрастающей на этом промежутке. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в начальной точке промежутка.
В нашем случае начальная точка промежутка — это $x=1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$C = y(1) = -\frac{1}{1} = -1$.

Ответ: $C = -1$.

Нахождение наибольшего значения D

Задана функция $y = 2x^2$ на отрезке $[0; 1]$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Исследуем ее на монотонность с помощью производной:
$y' = (2x^2)' = 4x$.
На отрезке $[0; 1]$ производная $y' = 4x$ неотрицательна ($y' \ge 0$), причем она равна нулю только в точке $x=0$. Это означает, что функция является возрастающей на всем отрезке $[0; 1]$.
Для возрастающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его конечной точке.
В нашем случае конечная точка отрезка — это $x=1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$D = y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Ответ: $D = 2$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C = -1$ и $D = 2$.
Сравнивая эти числа, видим, что $-1 < 2$.
Следовательно, $C < D$.

Ответ: $C < D$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = 2x^2$ на отрезке $[0; 1]$ (показан красным цветом) и $y = -\frac{1}{x}$ на луче $[1; +\infty)$ (показан синим цветом).
Точка $A(1, -1)$ соответствует наименьшему значению $C$. Точка $B(1, 2)$ соответствует наибольшему значению $D$.