Номер 20.32, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.32, страница 118.

Условие.

20.32 Решите неравенство графически:

а) $ \frac{4}{x} > 2x - 2; $

б) $ 0,5x - 1 > \frac{4}{x} . $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить неравенство $\frac{4}{x} > 2x - 2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 2x - 2$. Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y = \frac{4}{x}$ находится выше графика функции $y = 2x - 2$.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений:

• при $x=1, y=4$
• при $x=2, y=2$
• при $x=4, y=1$
• при $x=-1, y=-4$
• при $x=-2, y=-2$
• при $x=-4, y=-1$

2. Построим график функции $y = 2x - 2$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0, y=-2$
• при $x=1, y=0$

3. Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $\frac{4}{x} = 2x - 2$.
Поскольку $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$4 = 2x^2 - 2x$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{4}{2} = 2$. Точка пересечения $(2, 2)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{4}{-1} = -4$. Точка пересечения $(-1, -4)$.

4. Построив графики, мы видим, что гипербола $y = \frac{4}{x}$ расположена выше прямой $y = 2x - 2$ на двух промежутках: когда $x$ изменяется от $-\infty$ до абсциссы первой точки пересечения $x=-1$, и когда $x$ изменяется от точки разрыва ($x=0$) до абсциссы второй точки пересечения $x=2$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

---

б) Чтобы решить неравенство $0,5x - 1 > \frac{4}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 0,5x - 1$ и $y = \frac{4}{x}$. Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y = 0,5x - 1$ находится выше графика функции $y = \frac{4}{x}$.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях (см. пункт а).

2. Построим график функции $y = 0,5x - 1$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0, y=-1$
• при $x=2, y=0$

3. Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $0,5x - 1 = \frac{4}{x}$.
Поскольку $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$0,5x^2 - x = 4$
$0,5x^2 - x - 4 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{4}{4} = 1$. Точка пересечения $(4, 1)$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{4}{-2} = -2$. Точка пересечения $(-2, -2)$.

4. Построив графики, мы видим, что прямая $y = 0,5x - 1$ расположена выше гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на двух промежутках: когда $x$ изменяется от абсциссы первой точки пересечения $x=-2$ до точки разрыва ($x=0$), и когда $x$ больше абсциссы второй точки пересечения $x=4$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2, 0) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (4, +\infty)$.