Номер 20.37, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.37, страница 118.

Условие.

20.37 Постройте график функции:

a) $y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x}$

б) $y = \frac{2x + 2}{x^2 + x}$

в) $y = \frac{-x + 2}{x^2 - 2x}$

г) $y = \frac{-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}}{x^2 + 2x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 3x \neq 0$

$x(x - 3) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, разложив знаменатель на множители и сократив дробь. Это преобразование возможно при условии $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

$y = \frac{x - 3}{x(x - 3)} = \frac{1}{x}$

3. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = 3$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим значение $x = 3$ в упрощенную функцию $y = \frac{1}{x}$:

$y(3) = \frac{1}{3}$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(3; \frac{1}{3})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(3; \frac{1}{3})$.

б) $y = \frac{2x + 2}{x^2 + x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + x \neq 0$

$x(x + 1) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, вынеся общие множители в числителе и знаменателе. Сокращение возможно при условии $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

$y = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{2}{x}$

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{2}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = -1$.

График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x = -1$ в упрощенную функцию $y = \frac{2}{x}$:

$y(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(-1; -2)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(-1; -2)$.

в) $y = \frac{-x + 2}{x^2 - 2x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю:

$x^2 - 2x \neq 0$

$x(x - 2) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем множители и сократим дробь при условии $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

$y = \frac{-(x - 2)}{x(x - 2)} = -\frac{1}{x}$

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = 2$.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x = 2$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{x}$:

$y(2) = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = -\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(2; -\frac{1}{2})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(2; -\frac{1}{2})$.

г) $y = \frac{-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}}{x^2 + 2x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю:

$x^2 + 2x \neq 0$

$x(x + 2) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Сначала вынесем общий множитель в числителе:

$-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}(x + 2)$

Теперь упростим саму функцию, сократив дробь при условии $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$:

$y = \frac{-\frac{1}{3}(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{-\frac{1}{3}}{x} = -\frac{1}{3x}$

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{3x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = -2$.

График функции $y = -\frac{1}{3x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x = -2$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{3x}$:

$y(-2) = -\frac{1}{3(-2)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = -\frac{1}{3x}$ с выколотой точкой $(-2; \frac{1}{6})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{3x}$ с выколотой точкой $(-2; \frac{1}{6})$.