Номер 20.33, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.33, страница 118.

Условие.

20.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{4}{x}$. Докажите, что

$f(x+1) - f(x-1) = -\frac{1}{2}f(x+1) \cdot f(x-1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества необходимо подставить определение функции $f(x) = \frac{4}{x}$ в левую и правую части равенства и показать, что они тождественно равны. Область определения функции: $x \neq 0$. Для доказываемого тождества также необходимо, чтобы $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq 1$.

1. Преобразуем левую часть равенства.
Выразим $f(x + 1)$ и $f(x - 1)$ через $x$:
$f(x + 1) = \frac{4}{x + 1}$
$f(x - 1) = \frac{4}{x - 1}$
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$f(x + 1) - f(x - 1) = \frac{4}{x + 1} - \frac{4}{x - 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$:
$\frac{4(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{4(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{4(x - 1) - 4(x + 1)}{x^2 - 1}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{4x - 4 - 4x - 4}{x^2 - 1} = \frac{-8}{x^2 - 1}$

2. Преобразуем правую часть равенства.
Подставим выражения для $f(x + 1)$ и $f(x - 1)$ в правую часть равенства:
$-\frac{1}{2}f(x + 1) \cdot f(x - 1) = -\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{4}{x - 1}\right)$
Выполним умножение дробей:
$-\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{(x + 1)(x - 1)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x^2 - 1}$
Упростим полученное выражение:
$-\frac{16}{2(x^2 - 1)} = \frac{-8}{x^2 - 1}$

3. Сравнение результатов.
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{-8}{x^2 - 1}$ и правая часть равенства также равна $\frac{-8}{x^2 - 1}$.
Поскольку левая и правая части тождественно равны, исходное равенство доказано.

Ответ: Тождество $f(x + 1) - f(x - 1) = -\frac{1}{2}f(x + 1) \cdot f(x - 1)$ доказано, так как обе его части приводятся к одному и тому же выражению $\frac{-8}{x^2 - 1}$.