Номер 20.34, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.34, страница 118.

Условие.

20.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{3}{x}$. Докажите, что

$f(x + 2) + f(2 - x) = -4f(x^2 - 4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую и правую части, используя определение функции $f(x) = \frac{3}{x}$, и показать, что они равны.

1. Преобразование левой части (ЛЧ)

Левая часть равенства: $f(x + 2) + f(2 - x)$.
Подставим аргументы $(x + 2)$ и $(2 - x)$ в определение функции:
$f(x + 2) + f(2 - x) = \frac{3}{x + 2} + \frac{3}{2 - x}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(2 - x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$:
$\frac{3(2 - x) + 3(x + 2)}{(x + 2)(2 - x)} = \frac{6 - 3x + 3x + 6}{4 - x^2} = \frac{12}{4 - x^2}$
Таким образом, левая часть равна $\frac{12}{4 - x^2}$.

2. Преобразование правой части (ПЧ)

Правая часть равенства: $-4f(x^2 - 4)$.
Подставим аргумент $(x^2 - 4)$ в определение функции:
$-4f(x^2 - 4) = -4 \cdot \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{-12}{x^2 - 4}$
Чтобы привести выражение к тому же знаменателю, что и у левой части, вынесем знак минус из знаменателя:
$\frac{-12}{-(4 - x^2)} = \frac{12}{4 - x^2}$
Таким образом, правая часть также равна $\frac{12}{4 - x^2}$.

3. Заключение

Мы получили, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению:
ЛЧ = $\frac{12}{4 - x^2}$ и ПЧ = $\frac{12}{4 - x^2}$.
Поскольку ЛЧ = ПЧ, исходное равенство является верным тождеством.

Ответ: Тождество доказано.