Номер 20.36, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.36, страница 118.

Условие.

20.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 4; \\ \frac{8}{x}, & \text{если } x > 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-3), f(1), f(\sqrt{33} - 1).$

б) Постройте график функции $y = f(x).$

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для нахождения значений функции $f(x)$ в заданных точках нужно определить, какому из трех промежутков принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le x \le 0$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = -\frac{1}{3}x^2$:

$f(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

2. Найдем $f(1)$. Аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $0 < x \le 4$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = \sqrt{x}$:

$f(1) = \sqrt{1} = 1$.

3. Найдем $f(\sqrt{33} - 1)$. Сначала оценим значение аргумента $x = \sqrt{33} - 1$. Поскольку $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $5 < \sqrt{33} < 6$. Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем $4 < \sqrt{33} - 1 < 5$. Это означает, что аргумент удовлетворяет условию $x > 4$. Следовательно, используем третью формулу $f(x) = \frac{8}{x}$:

$f(\sqrt{33} - 1) = \frac{8}{\sqrt{33} - 1}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{33} + 1)$:

$\frac{8}{\sqrt{33} - 1} = \frac{8(\sqrt{33} + 1)}{(\sqrt{33} - 1)(\sqrt{33} + 1)} = \frac{8(\sqrt{33} + 1)}{33 - 1} = \frac{8(\sqrt{33} + 1)}{32} = \frac{\sqrt{33} + 1}{4}$.

Ответ: $f(-3) = -3$; $f(1) = 1$; $f(\sqrt{33} - 1) = \frac{\sqrt{33} + 1}{4}$.

б)

График функции $y = f(x)$ строится из трех частей, каждая на своем промежутке.

1. На отрезке $[-3; 0]$ строим график функции $y = -\frac{1}{3}x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 0)$. Ключевые точки: начало отрезка $(-3, f(-3)) = (-3, -3)$ и конец отрезка $(0, f(0)) = (0, 0)$.

2. На полуинтервале $(0; 4]$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это часть стандартной ветви параболы, идущая из начала координат. График начинается в точке $(0; 0)$ (где он непрерывно соединяется с первой частью) и заканчивается в точке $(4, f(4)) = (4, 2)$. Промежуточная точка для точности: $(1, 1)$.

3. На интервале $(4; +\infty)$ строим график функции $y = \frac{8}{x}$. Это часть гиперболы. При $x$, стремящемся к $4$ справа, $y$ стремится к $\frac{8}{4} = 2$, то есть график непрерывно продолжается из точки $(4, 2)$. При $x \to +\infty$, $y \to 0$, то есть ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой. Промежуточная точка для точности: $(8, 1)$.

В результате получаем непрерывную линию, состоящую из трех соединенных участков различных функций.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из части параболы $y = -\frac{1}{3}x^2$ на $[-3; 0]$, части графика корня $y = \sqrt{x}$ на $(0; 4]$ и части гиперболы $y = \frac{8}{x}$ на $(4; +\infty)$.

в)

На основе определения и графика функции перечислим ее основные свойства.

1. Область определения: $D(f) = [-3; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-3; 2]$.

3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) < 0$ при $x \in [-3; 0)$; $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

5. Монотонность: функция возрастает на промежутке $[-3; 4]$ и убывает на промежутке $(4; +\infty)$.

6. Экстремумы: $x_{max} = 4$ является точкой максимума, $y_{max} = f(4) = 2$; $x_{min} = -3$ является точкой минимума, $y_{min} = f(-3) = -3$.

7. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

8. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.

Ответ: Свойства функции: $D(f) = [-3; +\infty)$; $E(f) = [-3; 2]$; нуль $x=0$; $f(x)<0$ на $[-3; 0)$, $f(x)>0$ на $(0; +\infty)$; возрастает на $[-3; 4]$, убывает на $(4; +\infty)$; $y_{max}=2$ при $x=4$, $y_{min}=-3$ при $x=-3$; непрерывна; общего вида.