Номер 21.1, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.1, страница 119.

Условие.

Постройте в одной системе координат графики функций:

21.1 а) $y = x^2$ и $y = (x + 1)^2$;

б) $y = x^2$ и $y = (x - 3)^2$;

в) $y = x^2$ и $y = (x - 2)^2$;

г) $y = x^2$ и $y = (x + 4)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для построения графиков функций $y = x^2$ и $y = (x + 1)^2$ в одной системе координат, сначала рассмотрим базовую функцию $y = x^2$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх. Осью симметрии является ось $Oy$ (прямая $x=0$). Составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = x^2$	4	1	0	1	4

График функции $y = (x + 1)^2$ можно получить из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ сдвигает график функции на $a$ единиц влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). В нашем случае $a=1$, поэтому график функции $y = x^2$ нужно сдвинуть на 1 единицу влево.

Вершина новой параболы $y = (x + 1)^2$ будет находиться в точке $(-1, 0)$. Таблица значений для этой функции:

$x$	-3	-2	-1	0	1
$y = (x+1)^2$	4	1	0	1	4

Таким образом, в одной системе координат мы строим стандартную параболу $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и такую же параболу, но сдвинутую влево на 1, с вершиной в точке $(-1,0)$.

Ответ: График функции $y=(x+1)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

б)

Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = (x - 3)^2$.

График базовой функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = (x - 3)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ сдвигает график функции на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). В данном случае $a=3$, поэтому график функции $y = x^2$ нужно сдвинуть на 3 единицы вправо.

Вершина параболы $y = (x - 3)^2$ будет находиться в точке $(3, 0)$. Составим таблицу значений для этой функции, используя сдвиг соответствующих точек параболы $y=x^2$:

$x$	1	2	3	4	5
$y = (x-3)^2$	4	1	0	1	4

Для построения сначала наносим на координатную плоскость точки для $y=x^2$ и соединяем их плавной линией. Затем строим вторую параболу, которая является точной копией первой, но сдвинутой на 3 единицы вправо, с вершиной в точке $(3,0)$.

Ответ: График функции $y=(x-3)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

в)

Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = (x - 2)^2$.

График базовой функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = (x - 2)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$), так как это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ при $a=2$.

Вершина параболы $y = (x - 2)^2$ будет находиться в точке $(2, 0)$. Таблица значений для этой функции:

$x$	0	1	2	3	4
$y = (x-2)^2$	4	1	0	1	4

На одной координатной плоскости строим параболу $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и параболу $y=(x-2)^2$, которая является копией первой, но сдвинутой на 2 единицы вправо, с вершиной в точке $(2,0)$.

Ответ: График функции $y=(x-2)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

г)

Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = (x + 4)^2$.

График базовой функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = (x + 4)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$), так как это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=4$.

Вершина параболы $y = (x + 4)^2$ будет находиться в точке $(-4, 0)$. Таблица значений для этой функции:

$x$	-6	-5	-4	-3	-2
$y = (x+4)^2$	4	1	0	1	4

В одной системе координат строим параболу $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и такую же параболу, сдвинутую влево на 4 единицы, с вершиной в точке $(-4,0)$.

Ответ: График функции $y=(x+4)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 4 единицы влево вдоль оси $Ox$.