Номер 20.38, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.38, страница 118.

Условие.

20.38 Постройте график уравнения:

а) $xy = 3$;

б) $(xy - 1)(y - 3) = 0$;

в) $xy = 6$;

г) $(xy - 2)(xy + 5) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Уравнение $xy = 3$ представляет собой обратную пропорциональность. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$: $y = \frac{3}{x}$.
Это уравнение гиперболы. Так как коэффициент $k=3$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат (ось Ox, где $y=0$, и ось Oy, где $x=0$).
Для построения найдем несколько точек:
- при $x=1, y=3$;
- при $x=3, y=1$;
- при $x=-1, y=-3$;
- при $x=-3, y=-1$.
Соединив точки плавными линиями в каждой четверти, получим график гиперболы.
Ответ: Графиком является гипербола $y = \frac{3}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

б) Уравнение $(xy - 1)(y - 3) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $xy - 1 = 0$
2) $y - 3 = 0$
Графиком исходного уравнения будет объединение графиков этих двух уравнений.
1) $xy = 1$ или $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2) $y = 3$. Это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 3)$.
Ответ: Графиком является объединение гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и прямой $y = 3$.

в) Уравнение $xy = 6$.
Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$.
Это уравнение гиперболы. Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Некоторые точки для построения:
- (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) для первой четверти;
- (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1) для третьей четверти.
Ответ: Графиком является гипербола $y = \frac{6}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

г) Уравнение $(xy - 2)(xy + 5) = 0$.
Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $xy - 2 = 0$
2) $xy + 5 = 0$
Графиком исходного уравнения будет объединение графиков этих двух уравнений.
1) $xy = 2$ или $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.
2) $xy = -5$ или $y = -\frac{5}{x}$. Это гипербола, у которой коэффициент $k=-5$ отрицателен, поэтому ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях.
Ответ: Графиком является объединение двух гипербол: $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$.