Номер 20.29, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.29, страница 117.

Условие.

20.29 Используя график функции $y = \frac{6}{x}$, найдите промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если:

a) $1 \le y \le 3$;

б) $y < -2$;

в) $-2 \le y < -1$;

г) $y \ge 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дана функция $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Функция является убывающей на каждом из промежутков своего определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Это означает, что большему значению $y$ соответствует меньшее значение $x$ (и наоборот). Для решения задачи будем находить значения $x$, соответствующие граничным значениям $y$, используя зависимость $x = \frac{6}{y}$.

а) $1 \le y \le 3$

Поскольку значения $y$ положительны, соответствующие значения $x$ также будут положительными ($x > 0$). Найдем значения $x$ для границ интервала $y$:

При $y = 1$, $x = \frac{6}{1} = 6$.

При $y = 3$, $x = \frac{6}{3} = 2$.

Так как на промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает, неравенству $1 \le y \le 3$ соответствует обратное неравенство для $x$: $2 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [2; 6]$.

б) $y < -2$

Так как $y < 0$, то и $x < 0$. Найдем граничное значение $x$:

При $y = -2$, $x = \frac{6}{-2} = -3$.

Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$. Неравенству $y < -2$ соответствуют значения $x$, которые больше граничного значения $x = -3$ (поскольку $y$ становится более отрицательным, $x$ приближается к 0). Учитывая, что $x < 0$, получаем: $-3 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.

в) $-2 \le y < -1$

Так как $y$ отрицателен, $x$ также отрицателен ($x < 0$). Найдем значения $x$ для границ интервала $y$:

При $y = -2$, $x = \frac{6}{-2} = -3$.

При $y = -1$, $x = \frac{6}{-1} = -6$.

Функция убывает на $(-\infty; 0)$, поэтому неравенству $-2 \le y < -1$ будет соответствовать неравенство $x(y=-1) < x \le x(y=-2)$. Нестрогому неравенству для $y$ соответствует нестрогое для $x$, а строгому — строгое. Таким образом, $-6 < x \le -3$.

Ответ: $x \in (-6; -3]$.

г) $y \ge 6$

Так как $y > 0$, то и $x > 0$. Найдем граничное значение $x$:

При $y = 6$, $x = \frac{6}{6} = 1$.

Функция убывает на $(0; +\infty)$. Неравенству $y \ge 6$ соответствуют значения $x$, которые меньше или равны граничному значению $x=1$. Учитывая, что $x$ должен быть положителен (так как $y$ положителен), получаем: $0 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (0; 1]$.