Номер 20.22, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.22, страница 116.

Условие.

20.22 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < -1; \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

а) $f(-2), f(-1), f(1);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = f(x)$ рассмотрим два случая, в зависимости от значения $x$.

1. При $x < -1$ функция задается формулой $f(x) = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных кварталах. Нас интересует только та часть, которая находится в левой полуплоскости и левее прямой $x = -1$. Составим таблицу значений для этой части:

$x$	-4	-2	-1.5
$y = -\frac{2}{x}$	0.5	1	$ \approx 1.33 $

На границе интервала, при $x = -1$, значение функции было бы $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Так как $x < -1$, точка $(-1, 2)$ не принадлежит этой части графика, поэтому мы отмечаем ее как выколотую (пустой кружок).

2. При $-1 \le x \le 1$ функция задается формулой $f(x) = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах отрезка и в вершине:

• При $x = -1$, $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$ принадлежит графику. Эта точка "закрашивает" выколотую точку от первой части.
• При $x = 0$, $f(0) = 2(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ - вершина параболы.
• При $x = 1$, $f(1) = 2(1)^2 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику.

Таким образом, график состоит из части гиперболы для $x < -1$ и участка параболы на отрезке $[-1, 1]$.

Теперь воспользуемся построенным графиком (или его аналитическим описанием) для ответа на вопросы.

а) Чтобы найти значения функции при заданных значениях аргумента, нужно определить, на какой участок графика попадает точка.

• Для $f(-2)$: так как $-2 < -1$, мы используем первую формулу: $f(-2) = -\frac{2}{-2} = 1$. На графике это соответствует точке $(-2, 1)$ на ветви гиперболы.
• Для $f(-1)$: так как $-1$ входит в отрезок $[-1, 1]$, мы используем вторую формулу: $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$. На графике это точка $(-1, 2)$, где соединяются гипербола и парабола.
• Для $f(1)$: так как $1$ входит в отрезок $[-1, 1]$, мы используем вторую формулу: $f(1) = 2(1)^2 = 2$. На графике это правый конец участка параболы, точка $(1, 2)$.

Ответ: $f(-2) = 1$, $f(-1) = 2$, $f(1) = 2$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, нужно найти точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальными прямыми.

• $f(x) = 2$: Проведем горизонтальную прямую $y = 2$. Эта прямая пересекает график в двух точках. Обе точки принадлежат участку параболы: $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ и $x = -1$. Оба значения входят в отрезок $[-1, 1]$. Итак, $x = -1$ и $x = 1$.
• $f(x) = 0$: Проведем горизонтальную прямую $y = 0$ (ось абсцисс). Эта прямая пересекает график в одной точке — вершине параболы. $2x^2 = 0 \implies x = 0$. Гипербола $y = -2/x$ не пересекает ось $x$. Итак, $x = 0$.
• $f(x) = \frac{1}{2}$: Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{2}$. Эта прямая пересекает график в трех точках.
  • Пересечение с гиперболой ($x < -1$): $-\frac{2}{x} = \frac{1}{2} \implies x = -4$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.
  • Пересечение с параболой ($-1 \le x \le 1$): $2x^2 = \frac{1}{2} \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Оба значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$.
  Таким образом, мы имеем три значения $x$: $-4, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.

Ответ: при $f(x) = 2$, $x = -1$ или $x = 1$; при $f(x) = 0$, $x = 0$; при $f(x) = \frac{1}{2}$, $x = -4$ или $x = -\frac{1}{2}$ или $x = \frac{1}{2}$.