Номер 20.16, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.16, страница 115.

Условие.

20.16 a) $ \frac{1}{x} = x^2 $;

б) $ \frac{8}{x} = \sqrt{x} $;

в) $ -\frac{2}{x} = 2x^2 $;

г) $ \frac{1}{x} = \sqrt{x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $\frac{1}{x} = x^2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Для решения умножим обе части уравнения на $x$:
$x \cdot \frac{1}{x} = x \cdot x^2$
$1 = x^3$

Чтобы найти $x$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{1}$
$x = 1$

Полученное значение $x=1$ входит в ОДЗ ($1 \neq 0$). Проверим, подставив его в исходное уравнение:
$\frac{1}{1} = 1^2$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение: $\frac{8}{x} = \sqrt{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:
1. Знаменатель дроби не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Совмещая эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$ (мы можем это сделать, так как $x > 0$):
$x \cdot \frac{8}{x} = x \cdot \sqrt{x}$
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:
$8 = x^1 \cdot x^{1/2}$

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ складываем показатели:
$8 = x^{1 + 1/2}$
$8 = x^{3/2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$:
$x = 8^{2/3}$
$x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$). Проверим решение:
$\frac{8}{4} = \sqrt{4}$
$2 = 2$
Равенство верное.

Ответ: $x=4$.

в)

Дано уравнение: $-\frac{2}{x} = 2x^2$.
ОДЗ: $x \neq 0$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$-\frac{1}{x} = x^2$

Теперь умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$x \cdot (-\frac{1}{x}) = x \cdot x^2$
$-1 = x^3$

Извлечем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{-1}$
$x = -1$

Значение $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-1 \neq 0$). Проверим:
$-\frac{2}{-1} = 2(-1)^2$
$2 = 2 \cdot 1$
$2 = 2$
Равенство верное.

Ответ: $x=-1$.

г)

Дано уравнение: $\frac{1}{x} = \sqrt{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ), как и в пункте б), $x > 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x > 0$):
$x \cdot \frac{1}{x} = x \cdot \sqrt{x}$
$1 = x \cdot x^{1/2}$
$1 = x^{3/2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в степень $\frac{2}{3}$:
$x = 1^{2/3}$
$x = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим:
$\frac{1}{1} = \sqrt{1}$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x=1$.