Номер 20.17, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.17, страница 115.

Условие.

Решите графически систему уравнений:

20.17 а)

$$ \begin{cases} y = -\frac{5}{x}, \\ y = -5; \end{cases} $$

б)

$$ \begin{cases} y = \frac{4}{x}, \\ y = x + 3; \end{cases} $$

в)

$$ \begin{cases} y = \frac{3}{x}, \\ y = -1; \end{cases} $$

г)

$$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x}, \\ y = x + 4. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{5}{x} \\ y = -5 \end{cases} $

Чтобы решить систему графически, построим графики каждой функции в одной системе координат.

1. График функции $y = \frac{5}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=5 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y=5$;
• при $x=5$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-5$;
• при $x=-5$, $y=-1$.

2. График функции $y = -5$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, -5)$ на оси ординат.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка лежит на прямой $y=-5$ и на одной из ветвей гиперболы. Из графика видно, что абсцисса этой точки равна -1. Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-1, -5)$.

Проверим, подставив $y = -5$ в первое уравнение: $-5 = \frac{5}{x}$, откуда $x = \frac{5}{-5} = -1$.

Ответ: $(-1, -5)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x + 3 \end{cases} $

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях ($k=4 > 0$). Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=4$;
• при $x=2$, $y=2$;
• при $x=4$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-4$;
• при $x=-4$, $y=-1$.

2. График функции $y = x + 3$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например:

• при $x=0$, $y=3$;
• при $x=1$, $y=4$.

Построив графики в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определяем их координаты по графику. Первая точка пересечения: $(1, 4)$. Вторая точка пересечения: $(-4, -1)$.

Для проверки приравняем правые части уравнений: $\frac{4}{x} = x + 3$. Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$): $4 = x^2 + 3x$, или $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Соответствующие значения $y$: $y_1 = 1 + 3 = 4$ и $y_2 = -4 + 3 = -1$.

Ответ: $(1, 4), (-4, -1)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ y = -1 \end{cases} $

1. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=3 > 0$). Точки для построения:

• при $x=1$, $y=3$;
• при $x=3$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-3$;
• при $x=-3$, $y=-1$.

2. График функции $y = -1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -1)$.

После построения графиков видно, что они пересекаются в одной точке, которая находится в III четверти. Координаты этой точки можно определить по графику: $(-3, -1)$.

Проверка: подставляем $y=-1$ в уравнение гиперболы: $-1 = \frac{3}{x}$, откуда $x = -3$.

Ответ: $(-3, -1)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ y = x + 4 \end{cases} $

1. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-3 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Точки для построения:

• при $x=1$, $y=-3$;
• при $x=3$, $y=-1$;
• при $x=-1$, $y=3$;
• при $x=-3$, $y=1$.

2. График функции $y = x + 4$ — это прямая. Точки для построения:

• при $x=0$, $y=4$;
• при $x=-4$, $y=0$.

Построив графики в одной системе координат, мы увидим две точки пересечения. Координаты первой точки: $(-1, 3)$. Координаты второй точки: $(-3, 1)$.

Проверим алгебраически: $-\frac{3}{x} = x + 4$. Умножим на $x$ ($x \neq 0$): $-3 = x^2 + 4x$, или $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $y$: $y_1 = -1 + 4 = 3$ и $y_2 = -3 + 4 = 1$.

Ответ: $(-1, 3), (-3, 1)$.