Номер 20.21, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.21, страница 116.

Условие.

20.21 Используя графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -2x$:

а) определите, при каких значениях x прямая расположена выше гиперболы;

б) решите неравенство $-2x < -\frac{2}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) определить, при каких значениях х прямая расположена выше гиперболы;

Чтобы определить, при каких значениях $x$ прямая $y = -2x$ расположена выше гиперболы $y = -\frac{2}{x}$, необходимо проанализировать их графики. Условие "прямая выше гиперболы" соответствует неравенству $y_{прямая} > y_{гипербола}$, то есть $-2x > -\frac{2}{x}$.

1. Построение графиков и нахождение точек пересечения.
График $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. График $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Для точного анализа найдем точки, в которых графики пересекаются, решив уравнение:

$-2x = -\frac{2}{x}$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$-2x^2 = -2$

$x^2 = 1$

Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие ординаты (y):

• Если $x = -1$, то $y = -2(-1) = 2$. Точка пересечения A(-1, 2).
• Если $x = 1$, то $y = -2(1) = -2$. Точка пересечения B(1, -2).

2. Сравнение графиков.
Точки пересечения $x=-1$ и $x=1$, а также точка разрыва гиперболы $x=0$, делят числовую ось на четыре интервала. Проанализируем положение прямой относительно гиперболы на каждом из них:

• На интервале $(-\infty; -1)$: прямая $y=-2x$ находится выше гиперболы $y = -\frac{2}{x}$. Например, при $x=-2$, $y_{прямая} = 4$, а $y_{гипербола} = 1$.
• На интервале $(-1; 0)$: прямая проходит под ветвью гиперболы.
• На интервале $(0; 1)$: прямая снова оказывается выше гиперболы. Например, при $x=0.5$, $y_{прямая} = -1$, а $y_{гипербола} = -4$.
• На интервале $(1; \infty)$: прямая уходит вниз быстрее и оказывается под гиперболой.

Таким образом, прямая расположена выше гиперболы на объединении интервалов $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

б) решите неравенство $-2x < -\frac{2}{x}$.

Данное неравенство соответствует условию, что прямая $y = -2x$ расположена ниже гиперболы $y = -\frac{2}{x}$.

Используя графический анализ, проведенный в пункте а), мы можем выбрать интервалы, на которых прямая находится под гиперболой. Это происходит на интервалах, которые не вошли в решение предыдущего пункта (не считая точек пересечения и точки разрыва $x=0$).

Из анализа следует, что прямая расположена ниже гиперболы:

• На интервале $(-1; 0)$.
• На интервале $(1; \infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; \infty)$.