Номер 20.26, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.26, страница 117.

Условие.

20.26 Пусть $A$ — наибольшее значение функции $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$, а $B$ — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 1]$. Сравните $A$ и $B$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1. Нахождение A

Рассмотрим функцию $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$. Эта функция является обратной пропорциональностью (график - гипербола). Поскольку коэффициент $k=3$ положителен, функция является монотонно убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция также убывает.

Для убывающей функции ее наибольшее значение на отрезке достигается в левой границе отрезка, то есть при наименьшем значении $x$.

Наименьшее значение $x$ на отрезке $[1; 3]$ равно 1. Вычислим значение функции в этой точке:

$A = y(1) = \frac{3}{1} = 3$

Ответ: $A = 3$.

2. Нахождение B

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $[-1; 1]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$ и является точкой глобального минимума функции.

Поскольку абсцисса вершины $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Вычислим значение функции в этой точке:

$B = y(0) = 0^2 = 0$

Ответ: $B = 0$.

3. Сравнение A и B

Мы получили значения $A = 3$ и $B = 0$.

Сравнивая их, видим, что $3 > 0$.

Следовательно, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

4. Графическая иллюстрация

Построим на одной координатной плоскости график функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 1]$ (синий цвет) и график функции $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$ (красный цвет). Отметим точки, соответствующие значениям A и B.

На графике видно, что точка A, соответствующая наибольшему значению функции $y=\frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$, имеет ординату 3. Точка B, соответствующая наименьшему значению функции $y=x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, имеет ординату 0. Таким образом, $A > B$.