Номер 20.11, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.11, страница 114.

Условие.

20.11 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{2}{x}$:

а) на отрезке $[-2; -1];$

б) на полуинтервале $[1; 4);$

в) на луче $(-\infty; -1];$

г) на интервале $(1; 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{2}{x}$ проанализируем ее поведение. Область определения функции: $x \neq 0$. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{2}{x})' = (2x^{-1})' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $y = \frac{2}{x}$ является строго убывающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [-2; -1]

Данный отрезок принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция убывает. Для убывающей функции на замкнутом отрезке наибольшее значение достигается в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = \frac{2}{-2} = -1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

Ответ: наибольшее значение равно -1, наименьшее значение равно -2.

б) на полуинтервале [1; 4)

Данный полуинтервал принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает. Наибольшее значение достигается в точке с наименьшей абсциссой, которая принадлежит данному промежутку. Это левая граница $x = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \frac{2}{1} = 2$.

Правая граница $x=4$ не включена в полуинтервал. При приближении $x$ к 4 (слева), значения функции $y$ стремятся к $y(4) = \frac{2}{4} = 0.5$. Однако, так как $x$ никогда не достигает значения 4, функция никогда не принимает значение 0.5. Таким образом, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшего значения не существует.

в) на луче (-∞; -1]

Данный луч принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция убывает. Для убывающей функции на таком промежутке наименьшее значение будет достигаться в точке с наибольшей абсциссой, то есть в правой граничной точке $x = -1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значения функции $y = \frac{2}{x}$ стремятся к 0, но никогда его не достигают ($y$ всегда будет отрицательным, но сколь угодно близким к нулю). Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшего значения не существует.

г) на интервале (1; 2)

Данный интервал принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает. Обе границы интервала, $x=1$ и $x=2$, не включены. Когда $x$ стремится к 1 (справа), значения функции $y$ стремятся к $y(1) = 2$. Когда $x$ стремится к 2 (слева), значения функции $y$ стремятся к $y(2) = 1$. Все значения функции на этом интервале лежат в промежутке $(1; 2)$. Поскольку граничные значения 1 и 2 не достигаются, у функции на данном интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значений не существует.