Номер 20.7, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.7, страница 114.

Условие.

20.7 а) Постройте график функции $y = \frac{4}{x}$.

б) Найдите, при каких значениях аргумента значение функции равно 2.

в) Выделите ту часть графика, которая соответствует условию $y > 2$. При каких значениях $x$ выполняется это условие?

г) При каких значениях $x$ выполняется условие $y < 2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Функция $y = \frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах, так как коэффициент $k=4$ положителен. Оси координат являются асимптотами графика.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек, составив таблицу значений для каждой ветви:

Первая ветвь (при $x > 0$):

• Если $x=1$, то $y = \frac{4}{1} = 4$. Точка (1; 4).
• Если $x=2$, то $y = \frac{4}{2} = 2$. Точка (2; 2).
• Если $x=4$, то $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка (4; 1).

Вторая ветвь (при $x < 0$):

• Если $x=-1$, то $y = \frac{4}{-1} = -4$. Точка (-1; -4).
• Если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2} = -2$. Точка (-2; -2).
• Если $x=-4$, то $y = \frac{4}{-4} = -1$. Точка (-4; -1).

Соединив точки в каждом квадранте плавными кривыми, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их, мы получим график функции — гиперболу.

б) Чтобы найти значение аргумента ($x$), при котором значение функции ($y$) равно 2, необходимо решить уравнение:

$2 = \frac{4}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$ (поскольку $x \neq 0$):

$2x = 4$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: При $x=2$.

в) Чтобы выделить часть графика, соответствующую условию $y > 2$, и найти соответствующие значения $x$, решим неравенство:

$\frac{4}{x} > 2$

Так как $y>2$ (положительное значение), то и $x$ должен быть положительным (ветвь гиперболы находится в первом квадранте). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $x > 0$, не меняя знака неравенства:

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$

Совмещая с условием $x > 0$, получаем итоговый интервал $0 < x < 2$.

На графике этому условию соответствует часть ветви гиперболы в первом квадранте, расположенная выше горизонтальной прямой $y=2$. Эта часть начинается от оси $y$ и идет до точки (2; 2), не включая саму точку.

Ответ: Условие выполняется при $0 < x < 2$.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется условие $y < 2$, решим неравенство:

$\frac{4}{x} < 2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{4}{x} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4 - 2x}{x} < 0$

Это неравенство верно, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Решим его методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=0$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x < 0$ (например, $x=-1$), дробь $\frac{4-2(-1)}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 < 0$. Интервал $(-\infty; 0)$ является решением.
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$), дробь $\frac{4-2(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2 > 0$. Интервал $(0; 2)$ не является решением.
• При $x > 2$ (например, $x=4$), дробь $\frac{4-2(4)}{4} = \frac{-4}{4} = -1 < 0$. Интервал $(2; +\infty)$ является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение.

Графически это соответствует всей ветви гиперболы в третьем квадранте (где $y$ всегда отрицателен и, следовательно, меньше 2), а также части ветви в первом квадранте, лежащей ниже прямой $y=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.