Номер 20.3, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.3, страница 113.

Условие.

20.3 Постройте в одной системе координат графики функций и сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков:

a) $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{5}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$;

в) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$;

г) $y = \frac{3}{x}$ и $y = -\frac{3}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо для каждой пары функций построить их графики в одной системе координат и описать их взаимное расположение. Все представленные функции вида $y = \frac{k}{x}$ являются обратными пропорциональностями, их графики — гиперболы. Асимптотами для всех этих графиков являются оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$).

а) $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$

Для функции $y = \frac{1}{x}$, коэффициент $k=1 > 0$, следовательно, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y = \frac{1}{x}$	-0.25	-0.5	-1	-2	2	1	0.5	0.25

Для функции $y = -\frac{1}{x}$, коэффициент $k=-1 < 0$, следовательно, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях. Таблица значений для этой функции:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y = -\frac{1}{x}$	0.25	0.5	1	2	-2	-1	-0.5	-0.25

Построив графики по этим точкам, мы видим, что для любого значения $x$ (кроме $x=0$), ординаты соответствующих точек графиков противоположны по знаку. Это означает, что графики симметричны относительно оси абсцисс (Ox). Также они симметричны и относительно оси ординат (Oy).

Вывод: Графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$ — это две гиперболы, симметричные друг другу относительно осей координат.

Ответ: Графики симметричны друг другу относительно осей координат Ox и Oy.

б) $y = \frac{5}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$

Для функции $y = \frac{5}{x}$ ($k=5 > 0$), ветви расположены в I и III четвертях. Таблица значений:

$x$	-10	-5	-2	-1	1	2	5	10
$y = \frac{5}{x}$	-0.5	-1	-2.5	-5	5	2.5	1	0.5

Для функции $y = -\frac{5}{x}$ ($k=-5 < 0$), ветви расположены во II и IV четвертях. Таблица значений:

$x$	-10	-5	-2	-1	1	2	5	10
$y = -\frac{5}{x}$	0.5	1	2.5	5	-5	-2.5	-1	-0.5

Вывод: Построив графики, видим, что они симметричны друг другу относительно обеих координатных осей (Ox и Oy).

Ответ: Графики симметричны друг другу относительно осей координат.

в) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$

Для функции $y = \frac{2}{x}$ ($k=2 > 0$), ветви расположены в I и III четвертях. Таблица значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y = \frac{2}{x}$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

Для функции $y = -\frac{2}{x}$ ($k=-2 < 0$), ветви расположены во II и IV четвертях. Таблица значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y = -\frac{2}{x}$	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

Вывод: Аналогично предыдущим пунктам, графики этих функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс и оси ординат.

Ответ: Графики являются симметричными относительно осей координат.

г) $y = \frac{3}{x}$ и $y = -\frac{3}{x}$

Для функции $y = \frac{3}{x}$ ($k=3 > 0$), ветви расположены в I и III четвертях. Таблица значений:

$x$	-6	-3	-1	-0.5	0.5	1	3	6
$y = \frac{3}{x}$	-0.5	-1	-3	-6	6	3	1	0.5

Для функции $y = -\frac{3}{x}$ ($k=-3 < 0$), ветви расположены во II и IV четвертях. Таблица значений:

$x$	-6	-3	-1	-0.5	0.5	1	3	6
$y = -\frac{3}{x}$	0.5	1	3	6	-6	-3	-1	-0.5

Вывод: Графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс и оси ординат.

Ответ: Графики данных функций симметричны относительно осей Ox и Oy.

Общий вывод

Во всех рассмотренных случаях мы имеем дело с парой функций вида $y = \frac{k}{x}$ и $y = -\frac{k}{x}$ для некоторого $k>0$.

График функции $f(x) = \frac{k}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

График функции $g(x) = -\frac{k}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Поскольку $g(x) = -f(x)$, то график функции $y = g(x)$ является симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox).

Также, поскольку $g(x) = \frac{k}{-x} = f(-x)$, то график функции $y = g(x)$ является симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси ординат (Oy).

Следовательно, графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = -\frac{k}{x}$ всегда симметричны друг другу относительно обеих координатных осей.