Номер 19.64, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.64, страница 112.

Условие.

19.64 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) =$$$\begin{cases}-x^2, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\-1, & \text{если } -1 < x \le 0; \\\sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 2.\end{cases}$$

а) Найдите $f(-2,5)$, $f(-0,5)$, $f(4)$, $f(\sqrt{5} - 3)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для нахождения значения функции в заданной точке необходимо определить, в какой из трех промежутков попадает значение аргумента $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Найдем $f(-2,5)$.

  Значение $x = -2,5$ принадлежит промежутку $[-3; -1]$, так как выполняется неравенство $-3 \le -2,5 \le -1$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = -x^2$.

  $f(-2,5) = -(-2,5)^2 = -6,25$.

• Найдем $f(-0,5)$.

  Значение $x = -0,5$ принадлежит промежутку $(-1; 0]$, так как выполняется неравенство $-1 < -0,5 \le 0$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = -1$.

  $f(-0,5) = -1$.

• Найдем $f(4)$.

  Значение $x = 4$ не принадлежит области определения функции $D(f) = [-3; 2]$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

• Найдем $f(\sqrt{5} - 3)$.

  Оценим значение аргумента. Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{5} < 3$. Вычитая 3 из всех частей неравенства, получаем $2 - 3 < \sqrt{5} - 3 < 3 - 3$, что дает $-1 < \sqrt{5} - 3 < 0$.

  Значение $x = \sqrt{5} - 3$ принадлежит промежутку $(-1; 0]$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = -1$.

  $f(\sqrt{5} - 3) = -1$.

Ответ: $f(-2,5) = -6,25$; $f(-0,5) = -1$; $f(4)$ не определено; $f(\sqrt{5} - 3) = -1$.

б) График функции $y = f(x)$ состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке.

1. На промежутке $[-3; -1]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем значения на концах промежутка:

   • При $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Координаты точки $(-3; -9)$.
   • При $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Координаты точки $(-1; -1)$.

   Обе точки, $(-3; -9)$ и $(-1; -1)$, включаются в график (закрашенные точки).

2. На промежутке $(-1; 0]$ строим график функции $y = -1$. Это отрезок горизонтальной прямой.

   • Точка $(-1; -1)$ является началом отрезка и совпадает с концом предыдущего участка графика.
   • При $x = 0$, $y = -1$. Координаты точки $(0; -1)$.

   Конечная точка $(0; -1)$ включается в график (закрашенная точка).

3. На промежутке $(0; 2]$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это часть ветви параболы, симметричной $y=x^2$ относительно прямой $y=x$.

   • При $x \to 0$ (справа), $y \to 0$. Начальная точка $(0; 0)$ не включается в график (выколотая точка).
   • При $x = 2$, $y = \sqrt{2} \approx 1,41$. Конечная точка $(2; \sqrt{2})$ включается в график (закрашенная точка).

Ответ: График функции представляет собой объединение трех участков: дуги параболы $y = -x^2$ от точки $(-3; -9)$ до точки $(-1; -1)$; отрезка прямой $y = -1$ от точки $(-1; -1)$ до точки $(0; -1)$; и дуги кривой $y = \sqrt{x}$ от точки $(0; 0)$ (не включая ее) до точки $(2; \sqrt{2})$.

в) Перечислим свойства функции на основе ее определения и графика.

• Область определения: $D(f) = [-3; 2]$.

• Область значений: $E(f) = [-9; -1] \cup (0; \sqrt{2}]$.

• Нули функции: Функция не имеет нулей, так как уравнение $f(x)=0$ не имеет решений ни на одном из промежутков области определения. График не пересекает ось абсцисс.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) < 0$ при $x \in [-3; 0]$.
  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; 2]$.

• Четность: Область определения $D(f) = [-3; 2]$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

• Монотонность:

  • Функция возрастает на промежутках $[-3; -1]$ и $(0; 2]$.
  • Функция постоянна на промежутке $(-1; 0]$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x = 0$, в которой она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0-} f(x) = -1$, а $\lim_{x\to 0+} f(x) = 0$.

• Экстремумы:

  • Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(-3) = -9$.
  • Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(2) = \sqrt{2}$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, четность, монотонность, непрерывность, экстремумы) перечислены выше.