Номер 19.63, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.63, страница 112.

Условие.

19.63 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x - 4, \text{ если } -4 \le x \le -2; \\ -0.5x^2, \text{ если } -2 < x \le 2; \\ -2, \text{ если } 2 < x \le 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-2)$, $f(2)$, $f(2,4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-2), f(2), f(2,4).

Для нахождения значения функции в заданной точке необходимо определить, какому из трех промежутков, указанных в условии, принадлежит аргумент $x$, и затем использовать соответствующую этому промежутку формулу.

1. Найдем $f(-2)$.
Аргумент $x = -2$ удовлетворяет неравенству $-4 \le x \le -2$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = -x - 4$.
Подставляем $x = -2$:
$f(-2) = -(-2) - 4 = 2 - 4 = -2$.

2. Найдем $f(2)$.
Аргумент $x = 2$ удовлетворяет неравенству $-2 < x \le 2$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = -0,5x^2$.
Подставляем $x = 2$:
$f(2) = -0,5 \cdot (2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.

3. Найдем $f(2,4)$.
Аргумент $x = 2,4$ удовлетворяет неравенству $2 < x \le 3$. Следовательно, мы используем третью формулу: $f(x) = -2$.
Для любого $x$ из этого промежутка значение функции равно -2, поэтому:
$f(2,4) = -2$.

Ответ: $f(-2) = -2$, $f(2) = -2$, $f(2,4) = -2$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График данной кусочно-заданной функции состоит из трех частей, каждая на своем промежутке.

1. На отрезке $[-4, -2]$ строим график функции $y = -x - 4$. Это прямая линия. Найдем координаты ее конечных точек:
При $x = -4$, $y = -(-4) - 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
При $x = -2$, $y = -(-2) - 4 = -2$. Точка $(-2, -2)$.
Соединяем эти две точки отрезком прямой. Обе точки включены (закрашенные).

2. На полуинтервале $(-2, 2]$ строим график функции $y = -0,5x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$.
Найдем значения на концах промежутка:
При $x \to -2$, $y \to -0,5 \cdot (-2)^2 = -2$. Точка $(-2, -2)$ является "выколотой" для этой части графика, так как неравенство строгое ($x > -2$).
При $x = 2$, $y = -0,5 \cdot (2)^2 = -2$. Точка $(2, -2)$ включена в график (закрашенная).
График представляет собой дугу параболы, проходящую через вершину $(0,0)$ и соединяющую точки $(-2, -2)$ и $(2, -2)$.

3. На полуинтервале $(2, 3]$ строим график функции $y = -2$. Это горизонтальный отрезок прямой.
При $x \to 2$, $y = -2$. Точка $(2, -2)$ является "выколотой".
При $x = 3$, $y = -2$. Точка $(3, -2)$ включена в график (закрашенная).

Соединяем все части. В точках "стыка" $x = -2$ и $x = 2$ разрывов нет, так как "выколотые" точки одной части совпадают с закрашенными точками другой. Функция непрерывна.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из отрезка прямой от $(-4, 0)$ до $(-2, -2)$, дуги параболы с вершиной в $(0, 0)$ от $(-2, -2)$ до $(2, -2)$, и горизонтального отрезка от $(2, -2)$ до $(3, -2)$.

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции: $D(f) = [-4, 3]$.

2. Область значений функции: $E(f) = [-2, 0]$.

3. Нули функции ($f(x) = 0$): $x = -4$ и $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) < 0$ при $x \in (-4, 0) \cup (0, 3]$.
$f(x) > 0$ — таких значений $x$ нет.

5. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$.
Функция убывает на промежутках $[-4, -2]$ и $[0, 2]$.
Функция постоянна на промежутке $(2, 3]$.

6. Экстремумы функции:
Наибольшее значение функции: $y_{max} = 0$ (достигается при $x = 0$).
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -2$ (достигается при $x = -2$ и на всем промежутке $[2, 3]$).

7. Четность и нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения $D(f) = [-4, 3]$ несимметрична относительно нуля.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены в пунктах 1-8.