Номер 20.2, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график - номер 20.2, страница 113.

Условие.

20.2 Постройте график функции и укажите, где она убывает, где возрастает:

а) $y = \frac{3}{x}$;

б) $y = -\frac{2}{x}$;

в) $y = \frac{4}{x}$;

г) $y = -\frac{3}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{3}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 3$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = 3 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

3. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) и ось $Ox$ (прямая $y=0$) являются асимптотами графика, то есть ветви гиперболы бесконечно приближаются к ним, но не пересекают.

4. Для построения графика найдём несколько контрольных точек.
Для ветви в первой четверти: если $x=1$, то $y=3$; если $x=3$, то $y=1$; если $x=0.5$, то $y=6$. Получаем точки $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(0.5; 6)$.
Для ветви в третьей четверти, которая симметрична первой относительно начала координат: если $x=-1$, то $y=-3$; если $x=-3$, то $y=-1$; если $x=-0.5$, то $y=-6$. Получаем точки $(-1; -3)$, $(-3; -1)$, $(-0.5; -6)$.

5. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Промежутки возрастания и убывания:

Для функции $y = \frac{k}{x}$ с $k > 0$ справедливо, что при увеличении аргумента $x$ на каждом из промежутков области определения $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, значение функции $y$ уменьшается. Например, при увеличении $x$ от 1 до 3, $y$ уменьшается от 3 до 1. При увеличении $x$ от -3 до -1, $y$ уменьшается от -1 до -3. Таким образом, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

б) $y = -\frac{2}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -2$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = -2 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

3. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

4. Для построения графика найдём несколько контрольных точек.
Для ветви во второй четверти: если $x=-1$, то $y=2$; если $x=-2$, то $y=1$. Получаем точки $(-1; 2)$, $(-2; 1)$.
Для ветви в четвертой четверти, симметричной второй относительно начала координат: если $x=1$, то $y=-2$; если $x=2$, то $y=-1$. Получаем точки $(1; -2)$, $(2; -1)$.

5. Отметим точки и соединим их плавными линиями, чтобы построить гиперболу.

Промежутки возрастания и убывания:

Для функции $y = \frac{k}{x}$ с $k < 0$ справедливо, что при увеличении аргумента $x$ на каждом из промежутков области определения $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, значение функции $y$ увеличивается. Например, при увеличении $x$ от 1 до 2, $y$ увеличивается (становится ближе к нулю) от -2 до -1. При увеличении $x$ от -2 до -1, $y$ увеличивается от 1 до 2. Таким образом, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков убывания нет.

в) $y = \frac{4}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 4$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = 4 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

3. Область определения: $x \neq 0$. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика.

4. Найдём несколько точек для построения.
Для первой четверти: если $x=1$, то $y=4$; если $x=2$, то $y=2$; если $x=4$, то $y=1$. Точки: $(1; 4)$, $(2; 2)$, $(4; 1)$.
Для третьей четверти (симметрично): если $x=-1$, то $y=-4$; если $x=-2$, то $y=-2$; если $x=-4$, то $y=-1$. Точки: $(-1; -4)$, $(-2; -2)$, $(-4; -1)$.

5. Построим график, соединив точки плавными кривыми, приближающимися к осям.

Промежутки возрастания и убывания:

Как и для любой функции вида $y = \frac{k}{x}$ с $k > 0$, данная функция убывает на всей области определения. При росте $x$ в знаменателе, значение положительной дроби уменьшается. Это верно для обоих промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

г) $y = -\frac{3}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -3$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = -3 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

3. Область определения: $x \neq 0$. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика.

4. Найдём несколько точек для построения.
Для второй четверти: если $x=-1$, то $y=3$; если $x=-3$, то $y=1$. Точки: $(-1; 3)$, $(-3; 1)$.
Для четвертой четверти (симметрично): если $x=1$, то $y=-3$; если $x=3$, то $y=-1$. Точки: $(1; -3)$, $(3; -1)$.

5. Построим график, соединив точки плавными кривыми, приближающимися к осям.

Промежутки возрастания и убывания:

Как и для любой функции вида $y = \frac{k}{x}$ с $k < 0$, данная функция возрастает на всей области определения. Представим $y = \frac{-3}{x}$. При увеличении положительного $x$, знаменатель растет, дробь $\frac{3}{x}$ уменьшается, а значение $y = -\frac{3}{x}$ увеличивается (например, от -3 к -1). При увеличении отрицательного $x$ (например, от -3 до -1), его модуль уменьшается, дробь $\frac{3}{|x|}$ увеличивается, и значение $y=\frac{3}{|x|}$ тоже увеличивается (от 1 к 3). Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков убывания нет.