Номер 20.8, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.8, страница 114.

Условие.

20.8 а) Постройте график функции $y = -\frac{1}{x}$.

б) Найдите, при каких значениях аргумента значение функции равно 1.

в) При каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > 1$?

г) При каких значениях $x$ выполняется неравенство $y < 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Функция $y = -\frac{1}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Для построения графика проанализируем свойства функции.

1. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений функции: все действительные числа, кроме $y=0$, так как дробь $-\frac{1}{x}$ никогда не может быть равна нулю. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты: Прямые, к которым график функции стремится, но не пересекает. Для данной функции это координатные оси: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

4. Расположение ветвей: График функции $y = -\frac{1}{x}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем зеркального отражения относительно оси Ox (или Oy).

• Если $x > 0$ (положительные значения), то $y = -\frac{1}{x}$ будет иметь отрицательные значения ($y < 0$). Следовательно, одна ветвь гиперболы расположена в четвертой координатной четверти.
• Если $x < 0$ (отрицательные значения), то $y = -\frac{1}{x}$ будет иметь положительные значения ($y > 0$). Следовательно, вторая ветвь гиперболы расположена во второй координатной четверти.

5. Построение по точкам: Для точности построения составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0	0.5	1	2	4
$y = -\frac{1}{x}$	0.25	0.5	1	2	не существует	-2	-1	-0.5	-0.25

Отмечая эти точки на координатной плоскости и соединяя их плавными кривыми, которые асимптотически приближаются к осям координат, мы получаем график функции.

Ответ: Графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях и симметричных относительно начала координат.

б)

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ значение функции равно 1, необходимо решить уравнение $y = 1$.

Подставим $y=1$ в уравнение функции $y = -\frac{1}{x}$: $1 = -\frac{1}{x}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $x$ (это допустимо, так как $x \ne 0$ согласно области определения функции): $x \cdot 1 = -1$ $x = -1$

Проверим: если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{-1} = 1$. Решение верно.

Ответ: при $x = -1$.

в)

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > 1$, нужно решить неравенство: $-\frac{1}{x} > 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем: $-\frac{1}{x} - 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{x} + 1 < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{1+x}{x} < 0$

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Найдем значения $x$, при которых числитель или знаменатель равны нулю:

• Числитель: $1+x = 0 \implies x = -1$
• Знаменатель: $x = 0$

Нанесем точки -1 и 0 на числовую ось. Точка $x=0$ всегда выколота, так как находится в знаменателе. Точка $x=-1$ также выколота, так как неравенство строгое. Эти точки делят ось на три интервала. Определим знак выражения $\frac{1+x}{x}$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $\frac{1+(-2)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$.
• Интервал $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $\frac{1+(-0.5)}{-0.5} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0$.
• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $\frac{1+1}{1} = 2 > 0$.

Нас интересует, где выражение меньше нуля. Это происходит на интервале $(-1; 0)$.

Ответ: при $x \in (-1; 0)$.

г)

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y < 1$, нужно решить неравенство: $-\frac{1}{x} < 1$

Аналогично пункту в), приведем неравенство к виду, удобному для решения методом интервалов: $-\frac{1}{x} - 1 < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{1}{x} + 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{1+x}{x} > 0$

Используя результаты анализа знаков из пункта в), выберем интервалы, на которых выражение $\frac{1+x}{x}$ положительно. Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; +\infty)$.

Другой способ — использовать график. Неравенство $y < 1$ выполняется для тех $x$, где график функции $y = -\frac{1}{x}$ лежит ниже прямой $y=1$. Из графика видно, что это вся правая ветвь (при $x > 0$) и часть левой ветви, которая находится левее точки пересечения с прямой $y=1$ (то есть при $x < -1$).

Ответ: при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.