Номер 20.5, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.5, страница 113.

Условие.

20.5 Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = 1$; $-2$; $4$;

б) значения $x$, если $y = -1$; $2$; $-4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$;

г) какому промежутку принадлежит переменная $x$, если $y \in [-2; -1]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = \frac{2}{x}$ составим таблицу значений. Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Так как коэффициент $2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Некоторые точки, принадлежащие графику:

• При $x=0.5, y=4$
• При $x=1, y=2$
• При $x=2, y=1$
• При $x=4, y=0.5$
• При $x=-0.5, y=-4$
• При $x=-1, y=-2$
• При $x=-2, y=-1$
• При $x=-4, y=-0.5$

По этим точкам строим ветви гиперболы, которые приближаются к осям координат (оси $x$ и $y$ являются асимптотами). Далее все значения находим с помощью построенного графика.

а) значения y при x = 1; –2; 4;
Находим на графике точки с абсциссами $1$, $-2$ и $4$ и определяем их ординаты.
- Если $x = 1$, находим на оси $x$ точку $1$, поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно $2$.
- Если $x = -2$, находим на оси $x$ точку $-2$, опускаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно $-1$.
- Если $x = 4$, находим на оси $x$ точку $4$, поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно $0.5$.
Ответ: при $x=1$, $y=2$; при $x=-2$, $y=-1$; при $x=4$, $y=0.5$.

б) значения x, если y = –1; 2; –4;
Находим на графике точки с ординатами $-1$, $2$ и $-4$ и определяем их абсциссы.
- Если $y = -1$, находим на оси $y$ точку $-1$, движемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $x$ равно $-2$.
- Если $y = 2$, находим на оси $y$ точку $2$, движемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $x$ равно $1$.
- Если $y = -4$, находим на оси $y$ точку $-4$, движемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $x$ равно $-0.5$.
Ответ: если $y=-1$, то $x=-2$; если $y=2$, то $x=1$; если $y=-4$, то $x=-0.5$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$;
Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от $\frac{1}{2}$ до $2$. Эта часть графика находится в первой четверти и является убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция достигает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.
- Наибольшее значение: при $x=\frac{1}{2}$, $y = \frac{2}{1/2} = 4$.
- Наименьшее значение: при $x=2$, $y = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$ равно $1$, наибольшее значение равно $4$.

г) какому промежутку принадлежит переменная x, если y ∈ [–2; –1].
Рассмотрим часть графика, где $y$ изменяется от $-2$ до $-1$. Эта часть графика находится в третьей четверти. Найдем, какие значения $x$ соответствуют границам этого интервала $y$.
- Если $y = -2$, то из графика (или из уравнения $-2 = \frac{2}{x}$) находим $x = -1$.
- Если $y = -1$, то из графика (или из уравнения $-1 = \frac{2}{x}$) находим $x = -2$.
Поскольку на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает, то значениям $y$ из отрезка $[-2; -1]$ соответствуют значения $x$ из отрезка $[-2; -1]$.
Ответ: $x \in [-2; -1]$.