Номер 19.65, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.65, страница 112.

Условие.

19.65 Постройте график функции:

a) $y = \frac{2x^3 + 2x^2}{x + 1}$;

б) $y = \frac{-0.5x^3 + x^2}{x - 2}$;

в) $y = \frac{3x^3 - 3x^2}{x - 1}$;

г) $y = \frac{-\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^2}{x + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{2x^3 + 2x^2}{x + 1}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель $2x^2$ в числителе:
$y = \frac{2x^2(x + 1)}{x + 1}$.
При условии, что $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x+1)$:
$y = 2x^2$.

3. Итак, нам нужно построить график функции $y = 2x^2$ с одним ограничением: $x \neq -1$. График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

4. Найдем координаты точки, которая должна быть исключена из графика (так называемая "выколотая" точка). для этого подставим $x = -1$ в упрощенную функцию:
$y(-1) = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, точка с координатами $(-1, 2)$ не принадлежит графику функции.

5. Построение графика: строим параболу $y = 2x^2$, которая проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(-2, 8)$, $(2, 8)$, и "выкалываем" (отмечаем пустым кружком) на ней точку $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = 2x^2$ с выколотой точкой $(-1, 2)$.

б) $y = \frac{-0,5x^3 + x^2}{x - 2}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим функцию, вынеся общий множитель $-0,5x^2$ в числителе:
$y = \frac{-0,5x^2(x - 2)}{x - 2}$.
При $x \neq 2$ сократим дробь на $(x - 2)$:
$y = -0,5x^2$.

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -0,5x^2$ при условии, что $x \neq 2$. График функции $y = -0,5x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

4. Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 2$ в упрощенную функцию:
$y(2) = -0,5 \cdot (2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.
Таким образом, точка $(2, -2)$ не принадлежит графику.

5. Построение графика: строим параболу $y = -0,5x^2$, проходящую через точки $(0, 0)$, $(1, -0.5)$, $(-1, -0.5)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(2, -2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -0,5x^2$ с выколотой точкой $(2, -2)$.

в) $y = \frac{3x^3 - 3x^2}{x - 1}$

1. Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Вынесем общий множитель $3x^2$ в числителе:
$y = \frac{3x^2(x - 1)}{x - 1}$.
Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь:
$y = 3x^2$.

3. График исходной функции — это парабола $y = 3x^2$ с ограничением $x \neq 1$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

4. Определим координаты выколотой точки. Подставим $x = 1$ в упрощенное уравнение:
$y(1) = 3 \cdot (1)^2 = 3$.
Точка $(1, 3)$ не принадлежит графику.

5. Построение графика: строим параболу $y = 3x^2$, которая проходит через точки $(0, 0)$, $(-1, 3)$, $(2, 12)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(1, 3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = 3x^2$ с выколотой точкой $(1, 3)$.

г) $y = \frac{-\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^2}{x + 2}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель $-\frac{1}{3}x^2$ в числителе:
$y = \frac{-\frac{1}{3}x^2(x + 2)}{x + 2}$.
При $x \neq -2$ сократим дробь:
$y = -\frac{1}{3}x^2$.

3. Требуется построить график функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ с ограничением $x \neq -2$. График этой функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

4. Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = -2$ в упрощенную функцию:
$y(-2) = -\frac{1}{3}(-2)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 4 = -\frac{4}{3}$.
Следовательно, точка $(-2, -\frac{4}{3})$ является выколотой.

5. Построение графика: строим параболу $y = -\frac{1}{3}x^2$, проходящую через точки $(0, 0)$, $(3, -3)$, $(-3, -3)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(-2, -\frac{4}{3})$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -\frac{1}{3}x^2$ с выколотой точкой $(-2, -\frac{4}{3})$.