Номер 19.62, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.62, страница 112.

Условие.

19.62 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } -4 \le x \le -1; \\ 2x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ -x + 3, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

С помощью графика определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет:

а) один корень;

б) два корня;

в) три корня;

г) четыре корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала построим график кусочно-заданной функции $y = f(x)$, а затем с помощью графика проанализируем количество корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от параметра $p$.

Построение графика функции $y = f(x)$

Функция состоит из трех частей, каждую из которых мы построим на заданном интервале.

1. Участок при $x \in [-4, -1]$: $f(x) = x + 3$
Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• При $x = -4$, $y = -4 + 3 = -1$. Получаем точку $(-4, -1)$.
• При $x = -1$, $y = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Обе точки принадлежат графику, так как неравенства нестрогие.

2. Участок при $x \in (-1, 1]$: $f(x) = 2x^2$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на границах интервала:

• При $x \to -1$, $y \to 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$ является выколотой для этой части, но она совпадает с конечной точкой предыдущего участка, что обеспечивает непрерывность графика.
• Вершина параболы: при $x=0$, $y=2(0)^2=0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = 2(1)^2 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику.

3. Участок при $x \in (1, 3]$: $f(x) = -x + 3$
Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• При $x \to 1$, $y \to -1 + 3 = 2$. Точка $(1, 2)$ является выколотой, но совпадает с конечной точкой предыдущего участка.
• При $x = 3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(3, 0)$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой непрерывную линию, состоящую из отрезка прямой от $(-4, -1)$ до $(-1, 2)$, затем участка параболы с вершиной в $(0, 0)$, идущего от $(-1, 2)$ до $(1, 2)$, и, наконец, отрезка прямой от $(1, 2)$ до $(3, 0)$.

Анализ количества корней уравнения $f(x) = p$

Количество корней уравнения $f(x) = p$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y=p$. Проанализируем, как меняется это количество при изменении $p$.

• При $p < -1$: пересечений нет, 0 корней.
• При $p = -1$: одно пересечение в точке $(-4, -1)$, 1 корень.
• При $-1 < p < 0$: одно пересечение с первым линейным участком, 1 корень.
• При $p = 0$: три пересечения в точках, где $x=-3$, $x=0$ и $x=3$, следовательно, 3 корня.
• При $0 < p < 2$: четыре пересечения (одно с первым отрезком, два с параболой, одно со вторым отрезком), 4 корня.
• При $p = 2$: два пересечения в точках $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, 2 корня.
• При $p > 2$: пересечений нет, 0 корней.

Основываясь на этом анализе, ответим на вопросы задачи.

а) один корень
Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=p$ пересекает график ровно в одной точке. Это происходит при $p = -1$, а также при всех значениях $p$ из интервала $(-1, 0)$. Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $p \in [-1, 0)$.
Ответ: $p \in [-1, 0)$.

б) два корня
Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=p$ пересекает график в двух точках. Это происходит только при $p=2$.
Ответ: $p=2$.

в) три корня
Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит только при $p=0$.
Ответ: $p=0$.

г) четыре корня
Уравнение имеет четыре корня, когда прямая $y=p$ пересекает график в четырех точках. Это происходит при значениях $p$, строго больших 0 и строго меньших 2.
Ответ: $p \in (0, 2)$.