Номер 19.55, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.55, страница 111.

Условие.

19.55 а) Используя графики функций $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = x$, решите неравенство $\frac{1}{3}x^2 < x$.

б) Используя графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, решите неравенство $-x^2 \ge 2x - 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения неравенства $\frac{1}{3}x^2 < x$ необходимо построить графики функций $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = x$ и определить, на каком интервале график параболы находится ниже графика прямой.

1. Построим график функции $y = \frac{1}{3}x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 0). Она проходит через точки, например, (3, 3) и (-3, 3).

2. Построим график функции $y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат (биссектриса I и III координатных четвертей).

3. Найдем точки пересечения графиков, приравняв их уравнения:
$\frac{1}{3}x^2 = x$
$\frac{1}{3}x^2 - x = 0$
$x(\frac{1}{3}x - 1) = 0$
Отсюда получаем два значения $x$:
$x_1 = 0$
$\frac{1}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \Rightarrow x_2 = 3$
Точки пересечения имеют координаты (0, 0) и (3, 3).

4. Неравенство $\frac{1}{3}x^2 < x$ выполняется для тех значений $x$, при которых точки параболы $y = \frac{1}{3}x^2$ лежат ниже соответствующих точек прямой $y = x$. Глядя на взаимное расположение графиков, видим, что это происходит на интервале между точками пересечения.

Ответ: $x \in (0; 3)$

б) Для решения неравенства $-x^2 \ge 2x - 3$ необходимо построить графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$ и определить, на каком промежутке график параболы находится не ниже графика прямой.

1. Построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).

2. Построим график функции $y = 2x - 3$. Это прямая. Для построения найдем две точки: при $x=0$, $y=-3$; при $x=2$, $y=1$. Точки (0, -3) и (2, 1).

3. Найдем точки пересечения графиков, приравняв их уравнения:
$-x^2 = 2x - 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Следовательно, корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$
Точки пересечения имеют координаты (1, -1) и (-3, -9).

4. Неравенство $-x^2 \ge 2x - 3$ выполняется для тех значений $x$, при которых точки параболы $y = -x^2$ лежат выше точек прямой $y = 2x - 3$ или на одном уровне с ними. Глядя на взаимное расположение графиков, видим, что это происходит на отрезке между точками пересечения, включая сами точки.

Ответ: $x \in [-3; 1]$