Номер 19.48, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.48, страница 110.

Условие.

19.48 Пусть $C$ — наибольшее значение функции $y = 4x^2$ на отрезке $[-1; 0]$, а $D$ — наименьшее значение функции $y = 3 + x$ на луче $[1; +\infty)$. Сравните $C$ и $D$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение C

Необходимо найти наибольшее значение функции $y = 4x^2$ на отрезке $[-1; 0]$. Функция $y = 4x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Чтобы определить поведение функции на отрезке $[-1; 0]$, найдем её производную: $y' = (4x^2)' = 8x$. На интервале $(-1; 0)$ значение производной $y'$ отрицательно, следовательно, функция на этом интервале является убывающей. Наибольшее значение убывающей функции на замкнутом отрезке достигается в его левой конечной точке. Вычислим значение функции в точке $x = -1$:

$C = y(-1) = 4 \cdot (-1)^2 = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: $C=4$.

Нахождение D

Необходимо найти наименьшее значение функции $y = 3 + x$ на луче $[1; +\infty)$. Функция $y = 3 + x$ является линейной. Её угловой коэффициент (производная) $y' = 1$ является положительным числом, значит, функция возрастает на всей своей области определения. Наименьшее значение возрастающей функции на луче вида $[a; +\infty)$ достигается в его начальной точке, то есть при $x=a$. Вычислим значение функции в точке $x = 1$:

$D = y(1) = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $D=4$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C=4$ и $D=4$. Сравнивая их, приходим к выводу, что они равны.

Ответ: $C=D$.

Графическая иллюстрация

Для наглядности построим графики функций $y = 4x^2$ на отрезке $[-1; 0]$ и $y = 3 + x$ на луче $[1; +\infty)$.

На графике синим цветом показан фрагмент параболы $y=4x^2$ на отрезке $[-1;0]$. Ее наибольшее значение $C=4$ достигается в точке $(-1, 4)$, которая отмечена зеленым цветом. Красным цветом показан луч, являющийся частью прямой $y=3+x$ при $x \ge 1$. Его наименьшее значение $D=4$ достигается в точке $(1, 4)$, которая отмечена фиолетовым цветом. График наглядно показывает, что точки, соответствующие значениям C и D, находятся на одной горизонтальной линии $y=4$, что подтверждает равенство $C=D$.