Номер 19.43, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.43, страница 109.

Условие.

19.43 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -0.5x^2, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ -\sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-1), f(0), f(2);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = -8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции, заданной кусочно, рассмотрим каждую ее часть на указанном промежутке.

1. На промежутке $-4 \le x \le 0$ функция задана формулой $y = -0,5x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• Если $x = -4$, то $y = -0,5 \cdot (-4)^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$. Точка $(-4; -8)$.
• Если $x = -2$, то $y = -0,5 \cdot (-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$. Точка $(-2; -2)$.
• Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. На промежутке $0 < x \le 4$ функция задана формулой $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox, лежащая в четвертой координатной четверти. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• При $x$, стремящемся к 0 справа, $y$ стремится к 0. Точка $(0, 0)$ является "выколотой" для этой части графика.
• Если $x = 1$, то $y = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(4; -2)$.

Соединив построенные точки на их промежутках, получаем график функции. В точке $x=0$ разрыва нет, так как $f(0)=0$ по первому условию.

С помощью графика найдем требуемые значения.

а) f(-1), f(0), f(2);

Чтобы найти значение функции в точке, нужно определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Аргумент $x = -1$ принадлежит промежутку $-4 \le x \le 0$. Следовательно, $f(-1) = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5$.
• Аргумент $x = 0$ принадлежит промежутку $-4 \le x \le 0$. Следовательно, $f(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
• Аргумент $x = 2$ принадлежит промежутку $0 < x \le 4$. Следовательно, $f(2) = -\sqrt{2}$.

Ответ: $f(-1) = -0,5$; $f(0) = 0$; $f(2) = -\sqrt{2}$.

б) значения x, при которых f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = -8.

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает заданное значение, нужно провести на графике горизонтальную прямую $y = const$ и найти абсциссы точек пересечения с графиком $y=f(x)$.

• $f(x) = -2$:
  На промежутке $[-4, 0]$ решаем уравнение $-0,5x^2 = -2$, откуда $x^2 = 4$. Учитывая, что $x \le 0$, получаем $x = -2$.
  На промежутке $(0, 4]$ решаем уравнение $-\sqrt{x} = -2$, откуда $\sqrt{x} = 2$. Получаем $x = 4$, что удовлетворяет условию $0 < x \le 4$.
  Таким образом, $f(x) = -2$ при $x = -2$ и $x = 4$.
• $f(x) = 0$:
  На промежутке $[-4, 0]$ решаем уравнение $-0,5x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
  На промежутке $(0, 4]$ уравнение $-\sqrt{x} = 0$ также дает $x=0$, но это значение не входит в данный промежуток.
  Таким образом, $f(x) = 0$ только при $x = 0$.
• $f(x) = -8$:
  На промежутке $[-4, 0]$ решаем уравнение $-0,5x^2 = -8$, откуда $x^2 = 16$. Учитывая, что $x \le 0$, получаем $x = -4$.
  На промежутке $(0, 4]$ уравнение $-\sqrt{x} = -8$ дает $\sqrt{x} = 8$, то есть $x = 64$. Это значение не входит в данный промежуток.
  Таким образом, $f(x) = -8$ только при $x = -4$.

Ответ: $f(x) = -2$ при $x \in \{-2; 4\}$; $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) = -8$ при $x = -4$.