Номер 19.38, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.38, страница 108.

Условие.

19.38 С помощью графика функции $y = -x^2$ найдите промежуток (промежутки), которому (которым) принадлежит переменная $x$, если:

а) $y < -4$;

б) $-4 \le y < -1$;

в) $y \ge -4$;

г) $-9 < y \le -4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи будем использовать функцию $y = -x^2$. График этой функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии параболы — ось $Oy$. Для каждого случая мы будем решать соответствующее неравенство относительно переменной $x$.

а) Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется условие $y < -4$. Подставим выражение для $y$ в неравенство:
$-x^2 < -4$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 > 4$
Это неравенство справедливо, когда $x$ по модулю больше 2. Таким образом, получаем два промежутка: $x < -2$ или $x > 2$.
Графически это соответствует частям параболы, которые лежат ниже горизонтальной прямой $y = -4$. Точки пересечения параболы с этой прямой — это $x = -2$ и $x = 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

б) Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется условие $-4 \le y < -1$. Подставим $y = -x^2$:
$-4 \le -x^2 < -1$
Умножим все части двойного неравенства на $-1$, меняя знаки неравенства на противоположные:
$4 \ge x^2 > 1$
Это можно записать в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 \le 4 \\ x^2 > 1 \end{cases}$
Решением первого неравенства, $x^2 \le 4$, является промежуток $[-2; 2]$.
Решением второго неравенства, $x^2 > 1$, является объединение промежутков $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Нам необходимо найти пересечение этих решений. Учитывая симметрию параболы относительно оси $Oy$, получаем два интервала: $[-2; -1)$ и $(1; 2]$.
Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (1; 2]$.

в) Нам нужно найти значения $x$, для которых $y \ge -4$. Подставляем $y = -x^2$:
$-x^2 \ge -4$
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:
$x^2 \le 4$
Решением этого неравенства является промежуток $-2 \le x \le 2$.
Графически это та часть параболы, которая находится не ниже прямой $y=-4$, то есть "шапка" параболы между точками с абсциссами $x=-2$ и $x=2$, включая сами точки.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) Нам нужно найти значения $x$, для которых $-9 < y \le -4$. Подставляем $y = -x^2$:
$-9 < -x^2 \le -4$
Умножим все части двойного неравенства на $-1$, меняя знаки неравенства на противоположные:
$9 > x^2 \ge 4$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} x^2 < 9 \\ x^2 \ge 4 \end{cases}$
Решением первого неравенства, $x^2 < 9$, является интервал $(-3; 3)$.
Решением второго неравенства, $x^2 \ge 4$, является объединение промежутков $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Находим пересечение этих множеств. Это будут два симметричных промежутка: $(-3; -2]$ и $[2; 3)$.
Ответ: $x \in (-3; -2] \cup [2; 3)$.