Номер 19.40, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.40, страница 109.

Условие.

19.40 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -2x, \text{ если } -4 \le x \le 0; \\ -\frac{1}{3}x^2, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-4)$, $f(0,5)$, $f(3)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для нахождения значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

1. Найдём $f(-4)$.
Поскольку $x = -4$ принадлежит промежутку $[-4, 0]$, используем формулу $f(x) = -2x$.
$f(-4) = -2 \cdot (-4) = 8$.

2. Найдём $f(0,5)$.
Поскольку $x = 0,5$ принадлежит промежутку $(0, 3]$, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{3}x^2$.
$f(0,5) = -\frac{1}{3} \cdot (0,5)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 0,25 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{12}$.

3. Найдём $f(3)$.
Поскольку $x = 3$ принадлежит промежутку $(0, 3]$, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{3}x^2$.
$f(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

Ответ: $f(-4) = 8$, $f(0,5) = -1/12$, $f(3) = -3$.

б) График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-4, 0]$ функция задана формулой $y = -2x$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения найдём координаты его концов:

• при $x = -4$, $y = -2 \cdot (-4) = 8$. Точка $(-4, 8)$.
• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

2. На промежутке $(0, 3]$ функция задана формулой $y = -\frac{1}{3}x^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдём координаты конечных точек этого участка:

• при $x \to 0$ (справа), $y \to 0$. Точка $(0, 0)$ является общей для обеих частей графика.
• при $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 = -3$. Точка $(3, -3)$.

Объединив эти две части, получим график функции $y=f(x)$ на всей области определения.

Ответ: График функции построен и представлен выше.

в) Перечислим свойства функции $y=f(x)$ на основании её определения и графика.

• Область определения функции: $D(f) = [-4, 3]$.
• Область значений функции: $E(f) = [-3, 8]$.
• Чётность, нечётность: Область определения $D(f) = [-4, 3]$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in [-4, 0)$;
  $f(x) < 0$ при $x \in (0, 3]$.
• Промежутки монотонности:
  На промежутке $[-4, 0]$ функция $y = -2x$ убывает (коэффициент $-2 < 0$).
  На промежутке $(0, 3]$ функция $y = -\frac{1}{3}x^2$ убывает (производная $y' = -\frac{2}{3}x < 0$ при $x>0$).
  Следовательно, функция убывает на всей области определения $D(f) = [-4, 3]$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-4, 3]$, так как обе её части являются непрерывными функциями, и в точке их стыка $x=0$ значения совпадают: $\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^+} f(x) = f(0) = 0$.
• Экстремумы: Так как функция монотонно убывает на всей области определения, своих локальных экстремумов (минимумов и максимумов) во внутренних точках она не имеет. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка:
  • Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(-4) = 8$.
  • Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(3) = -3$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.