Номер 19.37, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.37, страница 108.

Условие.

19.37 С помощью графика функции $y = \frac{1}{3}x^2$ найдите промежуток (промежутки), которому (которым) принадлежит переменная $x$, если:

а) $y \ge 3$;

б) $\frac{1}{3} < y < 3$;

в) $y < 3$;

г) $3 \le y \le 12$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы найти промежутки для $x$, решим неравенство $y \ge 3$. Подставим в него выражение для функции $y = \frac{1}{3}x^2$:

$\frac{1}{3}x^2 \ge 3$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 \ge 9$

Это неравенство выполняется, когда модуль $x$ больше или равен 3, то есть $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Графически это соответствует поиску тех значений $x$, при которых график параболы $y = \frac{1}{3}x^2$ находится на или выше горизонтальной прямой $y=3$. Сначала найдем точки пересечения, решив уравнение $\frac{1}{3}x^2 = 3$, откуда $x^2 = 9$ и $x = \pm 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, ее график лежит выше прямой $y=3$ при $x$, находящихся левее $-3$ и правее $3$. Учитывая знак неравенства ($\ge$), сами точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

б) Найдем промежутки для $x$, соответствующие условию $\frac{1}{3} < y < 3$. Подставим выражение для $y$:

$\frac{1}{3} < \frac{1}{3}x^2 < 3$

Умножим все части двойного неравенства на 3:

$1 < x^2 < 9$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств: $x^2 > 1$ и $x^2 < 9$.

Из $x^2 > 1$ следует, что $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Из $x^2 < 9$ следует, что $x \in (-3; 3)$.

Пересечение этих двух множеств дает нам итоговый результат. Графически мы ищем те значения $x$, для которых парабола находится строго между горизонтальными прямыми $y = \frac{1}{3}$ и $y=3$. Точки пересечения с прямой $y=3$ это $x=\pm 3$. Точки пересечения с прямой $y=\frac{1}{3}$ находятся из уравнения $\frac{1}{3}x^2=\frac{1}{3}$, т.е. $x^2=1$, откуда $x=\pm 1$. Искомые значения $x$ находятся в интервалах между $-3$ и $-1$, а также между $1$ и $3$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.

в) Решим неравенство $y < 3$. Подставим выражение для $y$:

$\frac{1}{3}x^2 < 3$

Умножим обе части на 3:

$x^2 < 9$

Решением этого неравенства является интервал $-3 < x < 3$. Следует помнить, что значения функции $y=\frac{1}{3}x^2$ всегда неотрицательны ($y \ge 0$), но это условие выполняется для всех $x$ из найденного интервала.

Графически мы ищем значения $x$, для которых парабола лежит строго ниже горизонтальной прямой $y=3$. Как мы выяснили в пункте а), парабола пересекает эту прямую в точках $x=-3$ и $x=3$. Между этими точками график функции находится ниже прямой $y=3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

г) Найдем промежутки для $x$ из двойного неравенства $3 \le y \le 12$. Подставим выражение для $y$:

$3 \le \frac{1}{3}x^2 \le 12$

Умножим все части неравенства на 3:

$9 \le x^2 \le 36$

Это неравенство равносильно системе: $x^2 \ge 9$ и $x^2 \le 36$.

Из $x^2 \ge 9$ следует, что $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Из $x^2 \le 36$ следует, что $x \in [-6; 6]$.

Найдем пересечение этих множеств. Графически это означает, что мы ищем те значения $x$, для которых парабола находится между (или на) горизонтальными прямыми $y=3$ и $y=12$. Точки пересечения с $y=3$ это $x=\pm 3$. Точки пересечения с $y=12$ находим из $\frac{1}{3}x^2 = 12$, откуда $x^2=36$ и $x=\pm 6$. Искомые значения $x$ образуют два отрезка.

Ответ: $x \in [-6; -3] \cup [3; 6]$.