Номер 19.32, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.32, страница 108.

Условие.

19.32 a) $\begin{cases} y = \frac{1}{4}x^2, \\ y = x - 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -4|x|, \\ y = -2x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 0,5x^2, \\ y = 2x - 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -|3x|, \\ y = -x^2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) Для нахождения точек пересечения графиков функций, заданных системой уравнений, необходимо решить эту систему. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$\frac{1}{4}x^2 = x - 1$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4 \cdot \frac{1}{4}x^2 = 4 \cdot (x - 1)$

$x^2 = 4x - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - 2)^2 = 0$

Из этого следует, что уравнение имеет один корень:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Используем второе уравнение $y = x - 1$:

$y = 2 - 1 = 1$

Таким образом, графики функций имеют одну общую точку (точку касания).

Ответ: $(2, 1)$.

б) Приравняем правые части уравнений системы:

$-4|x| = -2x^2$

Разделим обе части уравнения на -2:

$2|x| = x^2$

Так как $x^2$ всегда неотрицательно, мы можем заменить его на $|x|^2$, поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$.

$2|x| = |x|^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$|x|^2 - 2|x| = 0$

Вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $|x| = 0 \implies x_1 = 0$

2) $|x| - 2 = 0 \implies |x| = 2 \implies x_2 = 2$ и $x_3 = -2$

Мы получили три значения $x$. Теперь найдем для каждого из них соответствующее значение $y$, подставив их в одно из уравнений, например, в $y = -2x^2$:

Для $x_1 = 0$: $y_1 = -2(0)^2 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

Для $x_2 = 2$: $y_2 = -2(2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$. Точка пересечения: $(2, -8)$.

Для $x_3 = -2$: $y_3 = -2(-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$. Точка пересечения: $(-2, -8)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, -8)$, $(-2, -8)$.

в) Для нахождения точек пересечения приравняем выражения для $y$:

$0.5x^2 = 2x - 2$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 = 2(2x - 2)$

$x^2 = 4x - 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x - 2)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение прямой $y = 2x - 2$:

$y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

Графики имеют одну общую точку.

Ответ: $(2, 2)$.

г) Приравняем правые части уравнений системы:

$-|3x| = -x^2$

Умножим обе части уравнения на -1:

$|3x| = x^2$

Используя свойство модуля $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, получаем $|3x| = 3|x|$. Также, как и в пункте б), заменим $x^2$ на $|x|^2$.

$3|x| = |x|^2$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $|x|$:

$|x|^2 - 3|x| = 0$

$|x|(|x| - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $|x| = 0 \implies x_1 = 0$

2) $|x| - 3 = 0 \implies |x| = 3 \implies x_2 = 3$ и $x_3 = -3$

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение $y = -x^2$:

Для $x_1 = 0$: $y_1 = -(0)^2 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

Для $x_2 = 3$: $y_2 = -(3)^2 = -9$. Точка пересечения: $(3, -9)$.

Для $x_3 = -3$: $y_3 = -(-3)^2 = -9$. Точка пересечения: $(-3, -9)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, -9)$, $(-3, -9)$.