Номер 19.25, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.25, страница 107.

Условие.

19.25 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$:

a) на интервале $(3; 6)$;

б) на отрезке $[-3; 0]$;

в) на открытом луче $(-\infty; 3)$;

г) на полуинтервале $[-1; 4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{1}{3}x^2$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Вершина параболы является точкой глобального минимума функции. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

а) на интервале (3; 6)

Данный интервал $(3; 6)$ полностью лежит на промежутке возрастания функции, так как все значения $x$ в этом интервале больше 0. Следовательно, для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) < y(x_2)$. Это означает, что значения функции на интервале $(3; 6)$ будут заключены между значениями функции на его концах.

Вычислим значения функции на границах интервала:

При $x = 3$: $y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

При $x = 6$: $y(6) = \frac{1}{3} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$.

Поскольку интервал $(3; 6)$ является открытым (концы не включаются), функция стремится к этим значениям, но никогда их не достигает. Наименьшего значения на интервале нет, так как для любого значения $y(x)$ можно найти другое, еще меньшее, взяв $x$ ближе к 3. Аналогично, наибольшего значения нет, так как можно взять $x$ ближе к 6.

Ответ: Наименьшего и наибольшего значений на данном интервале нет.

б) на отрезке [-3; 0]

Данный отрезок $[-3; 0]$ полностью лежит на промежутке убывания функции, так как все значения $x$ в этом отрезке меньше или равны 0. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в точке $a$, а наименьшее — в точке $b$.

В нашем случае $a = -3$ и $b = 0$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

Наименьшее значение функции (в вершине параболы): $y_{наим} = y(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 3.

в) на открытом луче (-∞; 3)

Данный промежуток включает в себя точку минимума функции $x = 0$. Поскольку $(0;0)$ — это вершина параболы и точка глобального минимума, то наименьшее значение функции на любом промежутке, содержащем $x=0$, будет равно $y(0)$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$.

Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на границах луча. При $x \to 3$ слева, значение функции стремится к $y(3) = 3$. При $x \to -\infty$, значение $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y = \frac{1}{3}x^2 \to +\infty$. Так как функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшего значения нет.

г) на полуинтервале [-1; 4)

Данный промежуток $[-1; 4)$ также содержит точку минимума функции $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение функции достигается в этой точке: $y_{наим} = y(0) = 0$.

Для нахождения наибольшего значения нужно сравнить значения функции на концах промежутка. Поскольку парабола симметрична относительно оси $y$, наибольшее значение на отрезке, содержащем 0, будет достигаться на том конце, который дальше от 0.

Сравним расстояния от концов до нуля: $|-1| = 1$ и $|4| = 4$. Так как $4 > 1$, наибольшее значение будет достигаться при $x$, близком к 4.

Вычислим значения функции на концах:

$y(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{3}$.

Значение, к которому стремится функция при $x \to 4$: $y(4) = \frac{1}{3} \cdot 4^2 = \frac{16}{3}$.

Поскольку правая граница интервала $x=4$ не включена (интервал открыт справа), функция стремится к значению $\frac{16}{3}$, но никогда его не достигает. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшего значения нет.