Номер 19.23, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.23, страница 106.

Условие.

19.23 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2x^2$:

а) на отрезке $[-2; 2];$

б) на полуинтервале $(-3; 1);$

в) на отрезке $[-3; -1];$

г) на луче $[1; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2x^2$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0; 0)$. Это означает, что своё глобальное наименьшее значение функция принимает в точке $x=0$, и это значение равно $y(0)=0$. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция является убывающей, а на промежутке $[0; +\infty)$ — возрастающей.

а) на отрезке [-2; 2]

1. Наименьшее значение. Вершина параболы, точка $x=0$, принадлежит отрезку $[-2; 2]$. Так как это точка глобального минимума функции, то она будет и точкой минимума на данном отрезке.
$y_{наим} = y(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.

2. Наибольшее значение. Поскольку функция симметрична относительно оси $Oy$ и на концах отрезка аргумент имеет одинаковое абсолютное значение, наибольшее значение будет достигаться в этих точках. Вычислим значения функции в точках $x=-2$ и $x=2$.
$y(-2) = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
$y(2) = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно 8.
$y_{наиб} = 8$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 8.

б) на полуинтервале (-3; 1]

1. Наименьшее значение. Вершина параболы, точка $x=0$, принадлежит полуинтервалу $(-3; 1]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом полуинтервале достигается в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.

2. Наибольшее значение. Сравним значение функции на правом конце полуинтервала $x=1$ и поведение функции на левом конце, при $x \to -3$.
$y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.
Точка $x=-3$ не принадлежит полуинтервалу, поэтому мы находим значение, к которому стремится функция, когда $x$ приближается к $-3$ (предел):
$y(-3) = 2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Так как $x$ может быть сколь угодно близким к $-3$, но не равным ему, значения функции на полуинтервале могут быть сколь угодно близки к 18, но никогда его не достигают. Таким образом, наибольшего значения у функции на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [-3; -1]

Данный отрезок целиком лежит на промежутке $(-\infty; 0]$, где функция $y=2x^2$ монотонно убывает.

1. Наименьшее значение. Поскольку функция убывает на этом отрезке, наименьшее значение будет достигаться на его правом конце, то есть в точке $x=-1$.
$y_{наим} = y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Наибольшее значение. Поскольку функция убывает на этом отрезке, наибольшее значение будет достигаться на его левом конце, то есть в точке $x=-3$.
$y_{наиб} = y(-3) = 2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение 18.

г) на луче [1; +∞)

Данный луч целиком лежит на промежутке $[0; +\infty)$, где функция $y=2x^2$ монотонно возрастает.

1. Наименьшее значение. Так как функция возрастает на этом луче, наименьшее значение будет достигаться на его левом конце, то есть в точке $x=1$.
$y_{наим} = y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Наибольшее значение. Так как $x$ может принимать сколь угодно большие значения ($x \to +\infty$), значение функции $y=2x^2$ также будет неограниченно возрастать. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшего значения не существует.