Номер 19.21, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.21, страница 104.

Условие.

19.21 Является ли ограниченной функция, график которой изображён:

а) на рис. 21;

б) на рис. 22;

в) на рис. 23;

г) на рис. 24?

Puc. 21

$y$, $x$, $O$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $1$

Puc. 22

$y$, $x$, $O$, $1$, $5$, $1$, $8$

Puc. 23

$y$, $x$, $O$, $1$, $1$, $-2$

Puc. 24

$y$, $x$, $O$, $1$, $2$, $1$, $2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Функция называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $|f(x)| \le M$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит в полосе между прямыми $y = -M$ и $y = M$. Иными словами, функция должна быть ограничена и сверху, и снизу.

а) на рис. 21
Анализируя график, мы видим, что все значения функции (координаты $y$) находятся в определённом диапазоне. Самое низкое значение функция принимает в точке $x=0$, и это значение равно $y=0$. Это нижняя граница функции. Самые высокие значения функция принимает на горизонтальных участках графика, где $y=5$. Это верхняя граница функции. Таким образом, для любого $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $0 \le y \le 5$. Поскольку функция ограничена и снизу (числом 0), и сверху (числом 5), она является ограниченной.
Ответ: Да, является ограниченной.

б) на рис. 22
Из графика видно, что наибольшее значение функции равно 8. Это означает, что функция ограничена сверху числом $M=8$, то есть для всех $x$ выполняется $y \le 8$. Однако при $x > 0$ график представляет собой луч, который уходит вниз бесконечно далеко. Это значит, что значения функции стремятся к $-\infty$ при $x \to +\infty$. Следовательно, не существует такого числа $m$, которым функция была бы ограничена снизу (т.е. не существует $m$, для которого $y \ge m$ для всех $x$). Так как функция не ограничена снизу, она не является ограниченной.
Ответ: Нет, не является ограниченной.

в) на рис. 23
На графике видно, что наименьшее значение функции равно -2. Это означает, что функция ограничена снизу числом $m=-2$, то есть для всех $x$ выполняется $y \ge -2$. Однако при $x > -1$ график уходит вверх бесконечно далеко. Это значит, что значения функции стремятся к $+\infty$ при $x \to +\infty$. Следовательно, не существует такого числа $M$, которым функция была бы ограничена сверху (т.е. не существует $M$, для которого $y \le M$ для всех $x$). Так как функция не ограничена сверху, она не является ограниченной.
Ответ: Нет, не является ограниченной.

г) на рис. 24
График этой функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Когда $x$ приближается к 0 справа ($x \to 0^+$), значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$). Это означает, что функция не ограничена сверху. Когда $x$ приближается к 0 слева ($x \to 0^-$), значения функции неограниченно убывают ($y \to -\infty$). Это означает, что функция не ограничена снизу. Поскольку функция не ограничена ни сверху, ни снизу, она не является ограниченной.
Ответ: Нет, не является ограниченной.