Номер 19.24, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.24, страница 107.

Условие.

19.24 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -0.5x^2$:

а) на полуинтервале $(-3; 2];

б) на интервале $(-2; 1);

в) на отрезке $[-1; 4];

г) на луче $(-\infty; 2]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -0,5x^2$ на заданных промежутках, воспользуемся её свойствами. Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Следовательно, наибольшее значение функции на любом промежутке, содержащем точку $x=0$, будет равно $y(0)=0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; \infty)$.

а) на полуинтервале (-3; 2];

Наибольшее значение на этом полуинтервале достигается в вершине параболы, так как точка $x=0$ принадлежит промежутку $(-3; 2]$.
$y_{наибольшее} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.

Для поиска наименьшего значения исследуем поведение функции на концах полуинтервала. На правом конце $y(2) = -0,5 \cdot 2^2 = -2$. На левом конце, при $x$, стремящемся к $-3$, функция стремится к значению $y(-3) = -0,5 \cdot (-3)^2 = -4,5$. Поскольку точка $x=-3$ не включена в промежуток, значение $-4,5$ не достигается. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение не существует.

б) на интервале (-2; 1);

Наибольшее значение на этом интервале также достигается в вершине $x=0$, так как $0 \in (-2; 1)$.
$y_{наибольшее} = y(0) = 0$.

Оба конца интервала, $x=-2$ и $x=1$, не включены. При $x \to -2$ функция стремится к $y(-2) = -0,5 \cdot (-2)^2 = -2$. При $x \to 1$ функция стремится к $y(1) = -0,5 \cdot 1^2 = -0,5$. Наименьшее из этих предельных значений равно $-2$. Так как точка $x=-2$ не принадлежит интервалу, наименьшее значение не достигается.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение не существует.

в) на отрезке [-1; 4];

Так как отрезок является замкнутым промежутком, непрерывная функция на нем достигает и наибольшего, и наименьшего значений. Эти значения могут быть в вершине (если она внутри отрезка) или на его концах.
Вершина $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$, следовательно, наибольшее значение равно $y_{наибольшее} = y(0) = 0$.

Вычислим значения на концах отрезка:
$y(-1) = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5$.
$y(4) = -0,5 \cdot 4^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$.

Сравнивая значения $y(0)=0$, $y(-1)=-0,5$ и $y(4)=-8$, находим, что наименьшее значение равно $-8$.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение -8.

г) на луче (-∞; 2].

Наибольшее значение на этом луче достигается в вершине $x=0$, так как $0 \in (-\infty; 2]$.
$y_{наибольшее} = y(0) = 0$.

Для поиска наименьшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (-0,5x^2) = -\infty$.

Поскольку функция не ограничена снизу на данном луче, наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение не существует.