Номер 19.31, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.31, страница 107.

Условие.

19.31 a) $\begin{cases} y = \frac{1}{8}x^2, \\ y = \sqrt{x}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 0,5x^2, \\ y = |x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 3x^2, \\ y = -\sqrt{x}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = |x|, \\ y = \frac{1}{3}x^2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \sqrt{x}$, приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{8}x^2 = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для $x$ определяется функцией $y = \sqrt{x}$, поэтому $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\frac{1}{8}x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$

$\frac{1}{64}x^4 = x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем $x$ за скобки:

$\frac{1}{64}x^4 - x = 0$

$x(\frac{1}{64}x^3 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два решения:

1) $x_1 = 0$

2) $\frac{1}{64}x^3 - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{64}x^3 = 1 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x_2 = 4$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Первая точка пересечения: $(0; 0)$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Вторая точка пересечения: $(4; 2)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(4; 2)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 0,5x^2$ и $y = |x|$, приравняем правые части уравнений:

$0,5x^2 = |x|$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$0,5x^2 = x$

$0,5x^2 - x = 0$

$x(0,5x - 1) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $0,5x - 1 = 0 \Rightarrow 0,5x = 1 \Rightarrow x_2 = 2$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$0,5x^2 = -x$

$0,5x^2 + x = 0$

$x(0,5x + 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x < 0$) или $0,5x + 1 = 0 \Rightarrow 0,5x = -1 \Rightarrow x_4 = -2$.

Мы получили три значения для $x$: $-2, 0, 2$. Найдем соответствующие значения $y$:

При $x = -2$, $y = |-2| = 2$. Точка пересечения: $(-2; 2)$.

При $x = 0$, $y = |0| = 0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

При $x = 2$, $y = |2| = 2$. Точка пересечения: $(2; 2)$.

Ответ: $(-2; 2)$, $(0; 0)$, $(2; 2)$.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 3x^2$ и $y = -\sqrt{x}$, приравняем правые части уравнений:

$3x^2 = -\sqrt{x}$

Рассмотрим области значений функций. Для $y = -\sqrt{x}$, необходимо, чтобы $x \ge 0$, при этом сам $y$ будет принимать неположительные значения ($y \le 0$).

Для функции $y = 3x^2$, $y$ принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$).

Равенство $3x^2 = -\sqrt{x}$ возможно только в том случае, когда обе части равны нулю, так как одна часть неотрицательна, а другая неположительна.

$3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

$-\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$

Единственное решение — $x = 0$.

Найдем соответствующее значение $y$:

При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения: $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = \frac{1}{3}x^2$, приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x^2 = |x|$

Рассмотрим два случая:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3}x^2 = x$

$\frac{1}{3}x^2 - x = 0$

$x(\frac{1}{3}x - 1) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $\frac{1}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \Rightarrow x_2 = 3$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3}x^2 = -x$

$\frac{1}{3}x^2 + x = 0$

$x(\frac{1}{3}x + 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x < 0$) или $\frac{1}{3}x + 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = -1 \Rightarrow x_4 = -3$.

Мы получили три значения для $x$: $-3, 0, 3$. Найдем соответствующие значения $y$:

При $x = -3$, $y = |-3| = 3$. Точка пересечения: $(-3; 3)$.

При $x = 0$, $y = |0| = 0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

При $x = 3$, $y = |3| = 3$. Точка пересечения: $(3; 3)$.

Ответ: $(-3; 3)$, $(0; 0)$, $(3; 3)$.