Номер 19.33, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.33, страница 108.

Условие.

Определите с помощью графического метода число решений системы уравнений:

19.33 a) $\begin{cases} y = 2x^2, \\ y = x + 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x^2, \\ y = -\sqrt{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 0.5x^2, \\ y = 1.5x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \frac{1}{4}x^2, \\ y = |x|. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = 2x^2$ и $y = x + 4$ в одной системе координат.

График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (1, 2), (-1, 2), (2, 8), (-2, 8).

График функции $y = x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = 4$. Точка (0, 4).
• если $x = -4$, то $y = 0$. Точка (-4, 0).

Построим эти графики. Прямая $y = x + 4$ пересекает ось OY в точке (0, 4), а ось OX в точке (-4, 0). Парабола $y = 2x^2$ выходит из начала координат и идет вверх. Видно, что прямая пересекает параболу в двух точках: одна в первой координатной четверти (с положительным $x$), другая — во второй (с отрицательным $x$).

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а значит, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = -\frac{1}{3}x^2$ и $y = -\sqrt{x}$ в одной системе координат.

График функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вниз. Она проходит через точки (3, -3) и (-3, -3).

График функции $y = -\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно оси OX и расположенной в четвертой координатной четверти. Область определения этой функции — $x \ge 0$. График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, -1), (4, -2), (9, -3).

Оба графика проходят через начало координат (0, 0), значит, это одна из точек пересечения. Для $x > 0$ оба графика находятся в четвертой координатной четверти. Сравним значения функций: при $x=1$ имеем $y = -1/3$ для параболы и $y = -1$ для корня. При $x=9$ имеем $y = -27$ для параболы и $y = -3$ для корня. Это означает, что при $x>0$ графики пересекаются еще в одной точке (между $x=1$ и $x=9$).

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а значит, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

в)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = 0,5x^2$ и $y = 1,5x$ в одной системе координат.

График функции $y = 0,5x^2$ (или $y = \frac{1}{2}x^2$) — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 2) и (-2, 2).

График функции $y = 1,5x$ (или $y = \frac{3}{2}x$) — это прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0) и точку (2, 3).

Поскольку и парабола, и прямая проходят через начало координат, точка (0, 0) является одним решением. Чтобы найти другие решения, приравняем правые части уравнений: $0,5x^2 = 1,5x$. Перенесем все в одну сторону: $0,5x^2 - 1,5x = 0$. Вынесем $0,5x$ за скобки: $0,5x(x - 3) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Мы получили два значения $x$, при которых графики пересекаются. Значит, существует две точки пересечения.

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а значит, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

г)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = \frac{1}{4}x^2$ и $y = |x|$ в одной системе координат.

График функции $y = \frac{1}{4}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 1), (-2, 1), (4, 4), (-4, 4).

График функции $y = |x|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

Оба графика проходят через начало координат (0, 0), значит, это одна из точек пересечения. Оба графика симметричны относительно оси OY, поэтому достаточно рассмотреть случай $x > 0$.
При $x > 0$ система принимает вид: $y = \frac{1}{4}x^2$ и $y = x$. Приравниваем: $\frac{1}{4}x^2 = x$. Решаем уравнение: $\frac{1}{4}x^2 - x = 0 \implies x(\frac{1}{4}x - 1) = 0$. Корни $x = 0$ и $x = 4$.
Это дает нам две точки пересечения: (0, 0) и (4, 4).
В силу симметрии относительно оси OY, для $x < 0$ будет еще одна точка пересечения с абсциссой $x = -4$, то есть точка (-4, 4).

Следовательно, графики пересекаются в трех точках, а значит, система имеет три решения.

Ответ: 3 решения.