Номер 19.35, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.35, страница 108.

Условие.

С помощью графика функции $y = 3x^2$ найдите промежуток, которому принадлежит переменная $y$, если:

19.35 a) $0 \le x \le 1$;

б) $-2 < x \le 0$;

в) $1 < x < 2$;

г) $-1 < x \le 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Функция $y = 3x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Это означает, что наименьшее значение функции равно 0 и достигается при $x=0$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает.

а) $0 \le x \le 1$

На данном промежутке $[0, 1]$ функция $y = 3x^2$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой граничной точке $x=0$, а наибольшее — в правой граничной точке $x=1$.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$.
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$.
Поскольку оба конца промежутка для $x$ включены, значения $y$ будут находиться в промежутке от 0 до 3 включительно.
Ответ: $0 \le y \le 3$.

б) $-2 < x \le 0$

На данном промежутке $(-2, 0]$ функция $y = 3x^2$ является убывающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает в правой граничной точке $x=0$, а наибольшее значение будет достигаться при $x$, стремящемся к левой границе $x=-2$.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Так как $x \le 0$, это значение $y=0$ включается в промежуток.
При $x = -2$, $y = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Так как неравенство для $x$ строгое ($x > -2$), значение $y=12$ не достигается.
Таким образом, переменная $y$ принимает значения от 0 включительно до 12 не включительно.
Ответ: $0 \le y < 12$.

в) $1 < x < 2$

На данном промежутке $(1, 2)$ функция $y = 3x^2$ является возрастающей.
Вычислим значения функции на границах промежутка:
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$.
При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.
Поскольку обе границы для $x$ не включены (строгие неравенства), соответствующие значения $y$ также не будут включены в искомый промежуток.
Ответ: $3 < y < 12$.

г) $-1 < x \le 1$

Данный промежуток $(-1, 1]$ содержит вершину параболы $x=0$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума.
Минимальное значение функции: при $x=0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Это значение достигается и входит в искомый промежуток.
Для нахождения максимального значения необходимо рассмотреть значения функции на границах промежутка. Максимальное значение будет в точке, наиболее удаленной от вершины $x=0$. Это точки $x=-1$ и $x=1$.
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Так как $x \le 1$, это значение достигается.
При $x = -1$, $y = 3 \cdot (-1)^2 = 3$. Так как $x > -1$, это значение не достигается в этой точке, но оно достигается при $x=1$.
Следовательно, максимальное значение функции на данном промежутке равно 3.
Таким образом, переменная $y$ принимает все значения от своего минимума (0) до максимума (3).
Ответ: $0 \le y \le 3$.