Номер 19.41, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.41, страница 109.

Условие.

19.41 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x^2, \text{ если } -1 \le x \le 0; \\ \sqrt{x}, \text{ если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(0), f(2), f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -3x^2, & \text{если } -1 \le x \le 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите f(0), f(2), f(4).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. При $x = 0$ аргумент удовлетворяет условию $-1 \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -3x^2$.
$f(0) = -3 \cdot 0^2 = 0$.

2. При $x = 2$ аргумент удовлетворяет условию $0 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(2) = \sqrt{2}$.

3. При $x = 4$ аргумент удовлетворяет условию $0 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $f(0) = 0$, $f(2) = \sqrt{2}$, $f(4) = 2$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей:

• На отрезке $[-1, 0]$ график совпадает с графиком параболы $y = -3x^2$. Это кривая, проходящая через точки $(-1, -3)$ и $(0, 0)$. Обе точки включены в график.
• На полуинтервале $(0, 4]$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Это кривая, выходящая из точки $(0, 0)$ (которая не включена в этот участок) и доходящая до точки $(4, 2)$ (которая включена в график).

Так как в точке $x=0$ значение функции равно $0$ (из первой части), а предел справа от $x=0$ для второй части также равен $0$, то в точке $(0, 0)$ разрыва нет, и график является сплошной линией.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше. Он состоит из участка параболы $y=-3x^2$ на отрезке $[-1, 0]$ и участка графика $y=\sqrt{x}$ на полуинтервале $(0, 4]$.

в) Перечислите свойства функции.

Основные свойства функции $y = f(x)$:

• Область определения: Функция определена на объединении промежутков $[-1, 0]$ и $(0, 4]$. Таким образом, область определения $D(f) = [-1, 4]$.
• Область значений: На промежутке $[-1, 0]$ значения изменяются от $f(-1)=-3$ до $f(0)=0$. На промежутке $(0, 4]$ значения изменяются от $0$ (не включая) до $f(4)=2$. Объединяя эти множества, получаем область значений $E(f) = [-3, 2]$.
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=0$. Это единственный нуль функции.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (0, 4]$.
  $f(x) < 0$ при $x \in [-1, 0)$.
• Монотонность: Функция возрастает на промежутке $[-1, 0]$ (от $-3$ до $0$) и на промежутке $(0, 4]$ (от $0$ до $2$). Следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения $[-1, 4]$.
• Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-1, 4]$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Наибольшее и наименьшее значения:
  Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(-1) = -3$.
  Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(4) = 2$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-1, 4]$.
• Ограниченность: Так как область значений $E(f) = [-3, 2]$ является ограниченным множеством, функция ограничена и сверху (числом 2), и снизу (числом -3).

Ответ: Свойства функции перечислены выше.