Страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. В каких четвертях координатной плоскости xOy располагаются ветви графика функции $y = \frac{k}{x}$, если $k > 0$?

Данная функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы располагаются в координатных четвертях в зависимости от знака коэффициента $k$.

По условию задачи, коэффициент $k$ положителен: $k > 0$.

Проанализируем знаки переменных $x$ и $y$. Из уравнения функции можно выразить произведение $x$ и $y$:
$x \cdot y = k$

Поскольку $k > 0$, то и произведение $x \cdot y$ должно быть положительным. Произведение двух чисел положительно только в том случае, если оба числа имеют одинаковый знак.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. Эта область соответствует первой (I) координатной четверти.

2. Обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$. Эта область соответствует третьей (III) координатной четверти.

Таким образом, ветви графика функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ располагаются в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: В I и III четвертях.

3. В каких четвертях координатной плоскости $xOy$ располагаются ветви графика функции $y = \frac{k}{x}$, если $k < 0$?

Функция, заданная формулой $y = \frac{k}{x}$, является обратной пропорциональностью. Её график — это гипербола, состоящая из двух отдельных ветвей. Чтобы определить, в каких четвертях координатной плоскости $xOy$ располагаются эти ветви при условии $k < 0$, необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$.

Из уравнения функции $y = \frac{k}{x}$ можно выразить произведение координат любой точки графика: $x \cdot y = k$.

По условию задачи коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$). Это означает, что произведение абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) для любой точки, принадлежащей графику, также должно быть отрицательным.

Произведение двух чисел является отрицательным тогда и только тогда, когда эти числа имеют противоположные знаки. Это приводит к двум возможным вариантам:

1. Абсцисса $x$ положительна ($x > 0$), а ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Эта комбинация знаков соответствует IV (четвертой) координатной четверти.

2. Абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$). Эта комбинация знаков соответствует II (второй) координатной четверти.

Таким образом, при $k < 0$ одна ветвь гиперболы располагается во второй четверти, а другая — в четвертой.

Ответ: во II и IV четвертях.

4. Обладает ли график функции $y = \frac{k}{x}$ симметрией? Какая точка является центром симметрии? Как называется такой вид симметрии?

Обладает ли график функции $y = \frac{k}{x}$ симметрией?
Да, график функции $y = \frac{k}{x}$, который называется гиперболой, обладает симметрией. Чтобы это доказать, проверим свойство четности данной функции.
Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x}$
Сравнивая это выражение с исходной функцией $y(x) = \frac{k}{x}$, мы видим, что выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Функция, для которой выполняется данное равенство, называется нечетной. График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Ответ: Да, график функции обладает симметрией.

Какая точка является центром симметрии?
Как было показано выше, функция $y = \frac{k}{x}$ является нечетной. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $(-x_0, -y_0)$ также будет принадлежать этому графику.
Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно точки с координатами $(0, 0)$. Эта точка является началом координат.
Ответ: Центром симметрии является начало координат, точка $(0, 0)$.

Как называется такой вид симметрии?
Симметрия геометрической фигуры относительно некоторой точки называется центральной симметрией. Точка, относительно которой фигура симметрична, называется центром симметрии.
Ответ: Такой вид симметрии называется центральной симметрией.

5. Что такое асимптота графика функции $y = f(x)$?

Асимптота графика функции $y = f(x)$ (от греческого слова ἀσύμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) — это прямая, обладающая свойством, что расстояние от точки на графике функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Простыми словами, это прямая, к которой кривая графика "подходит" всё ближе и ближе, но никогда её не пересекает (хотя в некоторых случаях пересечение возможно в конечной части графика, но не на бесконечности).

Асимптоты являются важным инструментом при исследовании поведения функции и построении её графика. Существует три вида асимптот.

Вертикальная асимптота

Прямая $x = a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке $a$ равен бесконечности. Это означает, что при приближении аргумента $x$ к значению $a$, значение функции $y$ неограниченно возрастает или убывает.

Условие существования вертикальной асимптоты: $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{или} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty $$ Вертикальные асимптоты обычно ищут в точках, где функция не определена (точках разрыва), например, в точках, где знаменатель дробно-рациональной функции обращается в ноль.

Горизонтальная асимптота

Прямая $y = b$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если предел функции при стремлении $x$ к плюс или минус бесконечности равен конечному числу $b$.

Условие существования горизонтальной асимптоты: $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \quad \text{или} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b $$ Функция может иметь одну горизонтальную асимптоту, две разные (одну на $+\infty$, другую на $-\infty$) или не иметь их вовсе.

Наклонная асимптота

Прямая $y = kx + b$ (где $k \neq 0$) называется наклонной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если разность между ординатой графика функции и ординатой соответствующей точки на прямой стремится к нулю при $x \to \infty$.

Коэффициенты $k$ и $b$ для наклонной асимптоты находятся с помощью следующих пределов: $$ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} $$ $$ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) $$ Если оба предела существуют и конечны, и при этом $k \neq 0$, то прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой. Если $k=0$, то асимптота является горизонтальной. Пределы могут вычисляться отдельно для $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$, что может привести к разным асимптотам.

Ответ: Асимптота графика функции $y=f(x)$ — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда его точка удаляется в бесконечность. Различают три вида асимптот: вертикальные (прямые вида $x=a$, возникающие в точках разрыва функции, где $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$), горизонтальные (прямые вида $y=b$, к которым график стремится на бесконечности, т.е. $\lim_{x\to \infty} f(x) = b$) и наклонные (прямые вида $y=kx+b$, к которым график стремится на бесконечности, где $k = \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x\to \infty} (f(x) - kx)$).

6. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$.

Асимптоты графика функции — это прямые, к которым график неограниченно приближается при удалении его точки от начала координат. Рассмотрим функцию $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$. У этой функции есть два типа асимптот: вертикальная и горизонтальная.

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота возникает в точке, где функция не определена. Для дробно-рациональной функции это происходит, когда знаменатель дроби равен нулю, а числитель — нет.

В нашем случае знаменатель равен $x$. Приравняем его к нулю:

$x = 0$

Поскольку по условию $k \neq 0$, при $x \to 0$ значение функции $y$ стремится к бесконечности ($\lim_{x \to 0} \frac{k}{x} = \infty$). Это означает, что прямая $x=0$ (ось ординат OY) является вертикальной асимптотой графика функции.

Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота описывает поведение функции, когда аргумент $x$ стремится к плюс или минус бесконечности ($x \to \pm\infty$). Для её нахождения необходимо вычислить предел функции при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{k}{x}$

Так как $k$ является постоянной величиной, отличной от нуля, а знаменатель $x$ неограниченно возрастает по модулю, значение всей дроби стремится к нулю.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{k}{x} = 0$

Следовательно, прямая $y=0$ (ось абсцисс OX) является горизонтальной асимптотой графика функции.

Ответ: $x=0$ (вертикальная асимптота) и $y=0$ (горизонтальная асимптота).

7. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений о функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является верным, необходимо исследовать ее на монотонность. Для этого найдем производную функции и определим ее знак.

1. Нахождение производной

Функция $y(x) = \frac{k}{x}$ может быть записана как $y(x) = k \cdot x^{-1}$.

Ее производная находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y'(x) = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = - \frac{k}{x^2}$.

2. Анализ знака производной

Проанализируем знак производной $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ на области определения функции, то есть при $x \neq 0$.

• По условию задачи, $k > 0$ (положительное число).
• Знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого ненулевого $x$.

Таким образом, дробь $\frac{k}{x^2}$ всегда положительна. Из-за знака "минус" перед дробью вся производная $y'(x)$ будет всегда отрицательной:

$y'(x) < 0$ при всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

3. Вывод о монотонности

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Поскольку $y'(x) < 0$ для всех $x$ в области определения, функция $y = \frac{k}{x}$ убывает как при $x > 0$, так и при $x < 0$.

Следовательно, верным является утверждение, которое гласит, что функция убывает на обоих этих промежутках. Это соответствует варианту в).

Ответ: в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

8. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений о функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является верным, необходимо исследовать эту функцию на монотонность (возрастание или убывание). Самый надежный способ — проанализировать знак ее производной.

Нахождение производной

Функция задана формулой $y(x) = \frac{k}{x}$. Для удобства дифференцирования представим ее в виде степенной функции: $y(x) = k \cdot x^{-1}$.

Найдем производную функции по переменной $x$, используя правило дифференцирования степенной функции:

$y'(x) = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Анализ знака производной

Теперь определим знак производной $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ на всей области определения функции, которая исключает точку $x=0$.

1. По условию задачи, коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$). Следовательно, выражение $-k$ в числителе дроби будет положительным ($-k > 0$).

2. Знаменатель дроби, $x^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда положителен для любого ненулевого значения $x$ ($x^2 > 0$).

Таким образом, производная $y'(x)$ представляет собой частное от деления положительного числа ($-k$) на положительное число ($x^2$), а значит, сама производная всегда положительна:

$y'(x) = \frac{-k}{x^2} > 0$ для всех $x \neq 0$.

Вывод о монотонности

Если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Поскольку $y'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Это означает, что функция возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$.

Проверка предложенных утверждений

Сравним наш вывод с вариантами ответов:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;
Это утверждение неверно, поскольку наш анализ показал, что функция возрастает и при $x < 0$.

б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$;
Это утверждение верно, так как оно полностью совпадает с нашим выводом.

в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;
Это утверждение неверно. Такое поведение функции характерно для случая, когда $k > 0$.

г) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$?
Это утверждение неверно, поскольку функция возрастает и при $x > 0$.

Ответ: б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$;

1. Как называют график функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$?

1. Функция, заданная формулой $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая переменная и $k$ — не равное нулю число ($k \neq 0$), называется обратной пропорциональностью. Графиком этой функции является кривая линия, которая называется гипербола.

Гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями. Расположение этих ветвей на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, ветви гиперболы находятся в первой и третьей координатных четвертях. Если $k < 0$, ветви находятся во второй и четвертой координатных четвертях.

Оси координат (ось $Ox$ и ось $Oy$) служат асимптотами для графика. Это означает, что ветви гиперболы бесконечно приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Это связано с тем, что в формуле $y = \frac{k}{x}$ знаменатель $x$ не может быть равен нулю (область определения $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$), и, следовательно, значение $y$ также никогда не может стать равным нулю (область значений $E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$).

Ответ: гипербола.

19.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } -1 \le x \le 1; \\ 2, \text{ если } 1 < x \le 6. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1), f(6), f(1).$

б) Постройте график функции $y = f(x).$

в) Перечислите свойства функции.

а) Чтобы найти значения функции $f(-1)$, $f(6)$ и $f(1)$, необходимо определить, какому интервалу из определения функции принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

Для $x = -1$: этот аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1 \le -1 \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x^2$.
$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Для $x = 6$: этот аргумент принадлежит полуинтервалу $(1, 6]$, так как $1 < 6 \le 6$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2$.
$f(6) = 2$.

Для $x = 1$: этот аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1 \le 1 \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x^2$.
$f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $f(-1) = 2$, $f(6) = 2$, $f(1) = 2$.

б) График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график функции $y = 2x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Вычислим значения в контрольных точках: $f(-1) = 2$, точка $(-1, 2)$; $f(0) = 0$, точка $(0, 0)$; $f(1) = 2$, точка $(1, 2)$. Соединяем эти точки плавной кривой.

2. На полуинтервале $(1, 6]$ строим график функции $y = 2$. Это отрезок горизонтальной прямой, проходящей через $y=2$. Левый конец отрезка, точка $(1, 2)$, не входит в этот промежуток (была бы "выколотой"), но она уже включена в первую часть графика. Правый конец, точка $(6, 2)$, принадлежит графику, так как $x=6$ входит в промежуток.

В результате получаем единый непрерывный график: участок параболы от $(-1, 2)$ до $(1, 2)$ через точку $(0, 0)$, который в точке $(1, 2)$ переходит в горизонтальный отрезок до точки $(6, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой участок параболы $y=2x^2$ на отрезке $[-1, 1]$, соединенный с горизонтальным отрезком прямой $y=2$ на полуинтервале $(1, 6]$.

в) Основные свойства функции $y=f(x)$:

1. Область определения: $D(f) = [-1, 6]$.
2. Область значений: $E(f) = [0, 2]$.
3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in [-1, 0) \cup (0, 6]$. Функция не принимает отрицательных значений.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на отрезке $[-1, 0]$, возрастает на отрезке $[0, 1]$ и постоянна на отрезке $[1, 6]$.
6. Экстремумы функции: $x_{min} = 0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 0$. Максимальное значение $y_{max} = 2$ достигается при $x = -1$ и на всем отрезке $[1, 6]$.
7. Четность, нечетность: Область определения $D(f) = [-1, 6]$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-1, 6]$.

Ответ: Основные свойства функции: область определения $D(f) = [-1, 6]$; область значений $E(f) = [0, 2]$; нуль функции $x=0$; функция убывает на $[-1,0]$, возрастает на $[0,1]$ и постоянна на $[1,6]$; $y_{min}=0$, $y_{max}=2$; функция общего вида, непрерывная.

19.40 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -2x, \text{ если } -4 \le x \le 0; \\ -\frac{1}{3}x^2, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-4)$, $f(0,5)$, $f(3)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Для нахождения значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

1. Найдём $f(-4)$.
Поскольку $x = -4$ принадлежит промежутку $[-4, 0]$, используем формулу $f(x) = -2x$.
$f(-4) = -2 \cdot (-4) = 8$.

2. Найдём $f(0,5)$.
Поскольку $x = 0,5$ принадлежит промежутку $(0, 3]$, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{3}x^2$.
$f(0,5) = -\frac{1}{3} \cdot (0,5)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 0,25 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{12}$.

3. Найдём $f(3)$.
Поскольку $x = 3$ принадлежит промежутку $(0, 3]$, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{3}x^2$.
$f(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

Ответ: $f(-4) = 8$, $f(0,5) = -1/12$, $f(3) = -3$.

б) График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-4, 0]$ функция задана формулой $y = -2x$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения найдём координаты его концов:

• при $x = -4$, $y = -2 \cdot (-4) = 8$. Точка $(-4, 8)$.
• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

2. На промежутке $(0, 3]$ функция задана формулой $y = -\frac{1}{3}x^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдём координаты конечных точек этого участка:

• при $x \to 0$ (справа), $y \to 0$. Точка $(0, 0)$ является общей для обеих частей графика.
• при $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 = -3$. Точка $(3, -3)$.

Объединив эти две части, получим график функции $y=f(x)$ на всей области определения.

Ответ: График функции построен и представлен выше.

в) Перечислим свойства функции $y=f(x)$ на основании её определения и графика.

• Область определения функции: $D(f) = [-4, 3]$.
• Область значений функции: $E(f) = [-3, 8]$.
• Чётность, нечётность: Область определения $D(f) = [-4, 3]$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in [-4, 0)$;
  $f(x) < 0$ при $x \in (0, 3]$.
• Промежутки монотонности:
  На промежутке $[-4, 0]$ функция $y = -2x$ убывает (коэффициент $-2 < 0$).
  На промежутке $(0, 3]$ функция $y = -\frac{1}{3}x^2$ убывает (производная $y' = -\frac{2}{3}x < 0$ при $x>0$).
  Следовательно, функция убывает на всей области определения $D(f) = [-4, 3]$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-4, 3]$, так как обе её части являются непрерывными функциями, и в точке их стыка $x=0$ значения совпадают: $\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^+} f(x) = f(0) = 0$.
• Экстремумы: Так как функция монотонно убывает на всей области определения, своих локальных экстремумов (минимумов и максимумов) во внутренних точках она не имеет. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка:
  • Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(-4) = 8$.
  • Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(3) = -3$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

19.41 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x^2, \text{ если } -1 \le x \le 0; \\ \sqrt{x}, \text{ если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(0), f(2), f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -3x^2, & \text{если } -1 \le x \le 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. При $x = 0$ аргумент удовлетворяет условию $-1 \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -3x^2$.
$f(0) = -3 \cdot 0^2 = 0$.

2. При $x = 2$ аргумент удовлетворяет условию $0 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(2) = \sqrt{2}$.

3. При $x = 4$ аргумент удовлетворяет условию $0 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $f(0) = 0$, $f(2) = \sqrt{2}$, $f(4) = 2$.

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей:

• На отрезке $[-1, 0]$ график совпадает с графиком параболы $y = -3x^2$. Это кривая, проходящая через точки $(-1, -3)$ и $(0, 0)$. Обе точки включены в график.
• На полуинтервале $(0, 4]$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Это кривая, выходящая из точки $(0, 0)$ (которая не включена в этот участок) и доходящая до точки $(4, 2)$ (которая включена в график).

Так как в точке $x=0$ значение функции равно $0$ (из первой части), а предел справа от $x=0$ для второй части также равен $0$, то в точке $(0, 0)$ разрыва нет, и график является сплошной линией.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше. Он состоит из участка параболы $y=-3x^2$ на отрезке $[-1, 0]$ и участка графика $y=\sqrt{x}$ на полуинтервале $(0, 4]$.

Основные свойства функции $y = f(x)$:

• Область определения: Функция определена на объединении промежутков $[-1, 0]$ и $(0, 4]$. Таким образом, область определения $D(f) = [-1, 4]$.
• Область значений: На промежутке $[-1, 0]$ значения изменяются от $f(-1)=-3$ до $f(0)=0$. На промежутке $(0, 4]$ значения изменяются от $0$ (не включая) до $f(4)=2$. Объединяя эти множества, получаем область значений $E(f) = [-3, 2]$.
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=0$. Это единственный нуль функции.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (0, 4]$.
  $f(x) < 0$ при $x \in [-1, 0)$.
• Монотонность: Функция возрастает на промежутке $[-1, 0]$ (от $-3$ до $0$) и на промежутке $(0, 4]$ (от $0$ до $2$). Следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения $[-1, 4]$.
• Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-1, 4]$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Наибольшее и наименьшее значения:
  Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(-1) = -3$.
  Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(4) = 2$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-1, 4]$.
• Ограниченность: Так как область значений $E(f) = [-3, 2]$ является ограниченным множеством, функция ограничена и сверху (числом 2), и снизу (числом -3).

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

19.42 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 3x + 2, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-2), f(0), f(1);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = 8$.

Для построения графика функции $ f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ 3x+2, & \text{если } x > 0 \end{cases} $ необходимо рассмотреть две ее части на указанных промежутках.

1. На промежутке $ [-2; 0] $ функция задается формулой $ y = 2x^2 $. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $ (0; 0) $. Для построения найдем координаты нескольких точек:
- при $ x = -2 $, $ y = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8 $. Координаты точки $ (-2; 8) $.
- при $ x = -1 $, $ y = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2 $. Координаты точки $ (-1; 2) $.
- при $ x = 0 $, $ y = 2 \cdot 0^2 = 0 $. Координаты точки $ (0; 0) $.
Поскольку неравенство $ -2 \le x \le 0 $ нестрогое, точки на концах промежутка $ (-2; 8) $ и $ (0; 0) $ принадлежат графику и отмечаются закрашенными точками.

2. На промежутке $ x > 0 $ функция задается формулой $ y = 3x + 2 $. Это луч (часть прямой). Для его построения найдем координаты двух точек:
- Найдем точку, из которой "выходит" луч. При $ x=0 $ (хотя это значение не входит в промежуток), $ y = 3 \cdot 0 + 2 = 2 $. Точка $ (0; 2) $ не принадлежит графику, так как неравенство $ x > 0 $ строгое. На графике она отмечается "выколотой" (пустым кружком).
- Возьмем любую точку, где $ x > 0 $, например $ x = 2 $. Тогда $ y = 3 \cdot 2 + 2 = 8 $. Точка $ (2; 8) $ принадлежит графику.
Проводим луч из выколотой точки $ (0; 2) $ через точку $ (2; 8) $.

Объединив обе части, получаем искомый график. Теперь с помощью графика найдем требуемые значения.

а) $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$
Для нахождения значения функции по значению аргумента, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить ее ординату.
- Для $ x = -2 $, аргумент попадает в промежуток $ [-2; 0] $, поэтому используем формулу $ f(x) = 2x^2 $. Получаем $ f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 = 8 $.
- Для $ x = 0 $, аргумент попадает в промежуток $ [-2; 0] $, поэтому используем формулу $ f(x) = 2x^2 $. Получаем $ f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0 $. На графике это закрашенная точка в начале координат.
- Для $ x = 1 $, аргумент попадает в промежуток $ x > 0 $, поэтому используем формулу $ f(x) = 3x + 2 $. Получаем $ f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5 $.
Ответ: $ f(-2) = 8 $, $ f(0) = 0 $, $ f(1) = 5 $.

б) значения $ x $, при которых $ f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = 8 $
Для нахождения значений $ x $ по известному значению функции $ y=f(x) $, нужно провести горизонтальную прямую $ y=k $ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.
- $ f(x) = 2 $: Проводим горизонтальную прямую $ y = 2 $. Она пересекает параболу $ y = 2x^2 $. Решим уравнение $ 2x^2 = 2 $, что дает $ x^2 = 1 $. Учитывая, что для этой части графика $ -2 \le x \le 0 $, выбираем корень $ x = -1 $. Прямая $ y = 2 $ также проходит через выколотую точку $ (0; 2) $, но так как эта точка не принадлежит графику, решения здесь нет. Таким образом, единственное решение $ x = -1 $.
- $ f(x) = 0 $: Прямая $ y = 0 $ (ось абсцисс) пересекает график в точке $ (0; 0) $. Это соответствует уравнению $ 2x^2 = 0 $, откуда $ x = 0 $. Это значение принадлежит промежутку $ [-2; 0] $. Вторая часть графика, $ y=3x+2 $, не пересекает ось $ Ox $ при $ x>0 $ (так как $ 3x+2 > 2 $). Следовательно, единственное решение $ x = 0 $.
- $ f(x) = 8 $: Прямая $ y = 8 $ пересекает график в двух точках. 1) Первая точка пересечения находится на параболе $ y = 2x^2 $. Решаем уравнение $ 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 $. Учитывая промежуток $ [-2; 0] $, получаем $ x = -2 $. 2) Вторая точка пересечения находится на прямой $ y = 3x + 2 $. Решаем уравнение $ 3x + 2 = 8 \implies 3x = 6 \implies x = 2 $. Это значение удовлетворяет условию $ x > 0 $. Таким образом, получаем два решения: $ x = -2 $ и $ x = 2 $.
Ответ: при $ f(x) = 2 $ $ x = -1 $; при $ f(x) = 0 $ $ x = 0 $; при $ f(x) = 8 $ $ x = -2 $ и $ x = 2 $.

19.43 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -0.5x^2, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ -\sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-1), f(0), f(2);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = -8.$

Для построения графика функции, заданной кусочно, рассмотрим каждую ее часть на указанном промежутке.

1. На промежутке $-4 \le x \le 0$ функция задана формулой $y = -0,5x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• Если $x = -4$, то $y = -0,5 \cdot (-4)^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$. Точка $(-4; -8)$.
• Если $x = -2$, то $y = -0,5 \cdot (-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$. Точка $(-2; -2)$.
• Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. На промежутке $0 < x \le 4$ функция задана формулой $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox, лежащая в четвертой координатной четверти. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• При $x$, стремящемся к 0 справа, $y$ стремится к 0. Точка $(0, 0)$ является "выколотой" для этой части графика.
• Если $x = 1$, то $y = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(4; -2)$.

Соединив построенные точки на их промежутках, получаем график функции. В точке $x=0$ разрыва нет, так как $f(0)=0$ по первому условию.

С помощью графика найдем требуемые значения.

а) f(-1), f(0), f(2);

Чтобы найти значение функции в точке, нужно определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Аргумент $x = -1$ принадлежит промежутку $-4 \le x \le 0$. Следовательно, $f(-1) = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5$.
• Аргумент $x = 0$ принадлежит промежутку $-4 \le x \le 0$. Следовательно, $f(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
• Аргумент $x = 2$ принадлежит промежутку $0 < x \le 4$. Следовательно, $f(2) = -\sqrt{2}$.

Ответ: $f(-1) = -0,5$; $f(0) = 0$; $f(2) = -\sqrt{2}$.

б) значения x, при которых f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = -8.

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает заданное значение, нужно провести на графике горизонтальную прямую $y = const$ и найти абсциссы точек пересечения с графиком $y=f(x)$.

• $f(x) = -2$:
  На промежутке $[-4, 0]$ решаем уравнение $-0,5x^2 = -2$, откуда $x^2 = 4$. Учитывая, что $x \le 0$, получаем $x = -2$.
  На промежутке $(0, 4]$ решаем уравнение $-\sqrt{x} = -2$, откуда $\sqrt{x} = 2$. Получаем $x = 4$, что удовлетворяет условию $0 < x \le 4$.
  Таким образом, $f(x) = -2$ при $x = -2$ и $x = 4$.
• $f(x) = 0$:
  На промежутке $[-4, 0]$ решаем уравнение $-0,5x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
  На промежутке $(0, 4]$ уравнение $-\sqrt{x} = 0$ также дает $x=0$, но это значение не входит в данный промежуток.
  Таким образом, $f(x) = 0$ только при $x = 0$.
• $f(x) = -8$:
  На промежутке $[-4, 0]$ решаем уравнение $-0,5x^2 = -8$, откуда $x^2 = 16$. Учитывая, что $x \le 0$, получаем $x = -4$.
  На промежутке $(0, 4]$ уравнение $-\sqrt{x} = -8$ дает $\sqrt{x} = 8$, то есть $x = 64$. Это значение не входит в данный промежуток.
  Таким образом, $f(x) = -8$ только при $x = -4$.

Ответ: $f(x) = -2$ при $x \in \{-2; 4\}$; $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) = -8$ при $x = -4$.

19.44 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -|x|, \text{ если } -4 \le x \le 2; \\ 0,5x^2, \text{ если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-2), f(2), f(4);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = -1, f(x) = 2, f(x) = 4,5.$

Для построения графика функции $f(x)$ нужно рассмотреть два интервала, на которых она задана по-разному.

1. На интервале $-4 \le x \le 2$ функция задана формулой $f(x) = -|x|$. Графиком этой функции является перевернутая "галочка", симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0, 0)$. Для построения найдем значения на концах интервала и в вершине:

• $f(-4) = -|-4| = -4$. Точка $(-4, -4)$.
• $f(0) = -|0| = 0$. Точка $(0, 0)$.
• $f(2) = -|2| = -2$. Точка $(2, -2)$.

Соединяем эти точки отрезками прямых. Так как неравенство нестрогое, все точки на этом участке, включая концы, принадлежат графику.

2. На интервале $2 < x \le 4$ функция задана формулой $f(x) = 0.5x^2$. Графиком этой функции является ветвь параболы, направленная вверх. Найдем значения на концах интервала:

• При $x$, стремящемся к 2 справа, $f(x)$ стремится к $0.5 \cdot 2^2 = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 2)$ не принадлежит графику, и мы отмечаем ее "выколотой" (пустым кружком).
• $f(4) = 0.5 \cdot 4^2 = 0.5 \cdot 16 = 8$. Точка $(4, 8)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое ($x \le 4$).
• Для более точного построения найдем еще одну точку, например, $f(3) = 0.5 \cdot 3^2 = 4.5$. Точка $(3, 4.5)$.

Соединяем эти точки плавной кривой (частью параболы).

Итоговый график состоит из двух частей: ломаной линии от $(-4, -4)$ до $(2, -2)$ через $(0, 0)$ и участка параболы от "выколотой" точки $(2, 2)$ до точки $(4, 8)$.

Теперь с помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) f(-2), f(2), f(4)

Чтобы найти значение функции в точке, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить ее ординату.

• Для нахождения $f(-2)$, смотрим на график при $x=-2$. Эта точка попадает на первую часть графика, $y=-|x|$. Ордината равна $-|-2| = -2$.
• Для нахождения $f(2)$, смотрим на график при $x=2$. Эта точка также принадлежит первой части графика (так как интервал $-4 \le x \le 2$ включает 2). Ордината равна $-|2| = -2$.
• Для нахождения $f(4)$, смотрим на график при $x=4$. Эта точка принадлежит второй части графика ($2 < x \le 4$). Ордината равна $0.5 \cdot 4^2 = 8$.

Ответ: $f(-2) = -2$, $f(2) = -2$, $f(4) = 8$.

б) значения x, при которых f(x) = -1, f(x) = 2, f(x) = 4,5

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, нужно провести горизонтальную прямую $y=k$ (где $k$ - это заданное число) и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с графиком функции $y=f(x)$.

• $f(x) = -1$: Проводим прямую $y=-1$. Она пересекает первую часть графика ($y=-|x|$) в двух точках. Чтобы найти их абсциссы, решим уравнение $-|x| = -1$, или $|x|=1$. Отсюда $x=1$ и $x=-1$. Обе точки принадлежат интервалу $[-4, 2]$.
• $f(x) = 2$: Проводим прямую $y=2$. Эта прямая не пересекает первую часть графика, так как на интервале $[-4, 2]$ максимальное значение функции равно 0. На втором интервале $(2, 4]$ значения функции лежат в промежутке $(2, 8]$. Так как левая граница (значение 2) не включается, прямая $y=2$ не имеет точек пересечения с графиком. Следовательно, нет таких значений $x$, при которых $f(x)=2$.
• $f(x) = 4.5$: Проводим прямую $y=4.5$. Эта прямая пересекает вторую часть графика ($y=0.5x^2$) в одной точке. Чтобы найти ее абсциссу, решим уравнение $0.5x^2 = 4.5$. Отсюда $x^2 = 9$, что дает $x=3$ или $x=-3$. Из этих двух значений только $x=3$ принадлежит интервалу $(2, 4]$.

Ответ: при $f(x)=-1$, $x=-1$ и $x=1$; при $f(x)=2$ решений нет; при $f(x)=4.5$, $x=3$.