Страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения выпуклости функции $y = \frac{k}{x}$ необходимо исследовать знак ее второй производной. По условию задачи $k > 0$.

1. Нахождение производных
Запишем функцию в виде $y = kx^{-1}$.
Первая производная: $y' = (kx^{-1})' = k \cdot (-1)x^{-2} = -kx^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.
Вторая производная: $y'' = (-kx^{-2})' = -k \cdot (-2)x^{-3} = 2kx^{-3} = \frac{2k}{x^3}$.

2. Анализ знака второй производной
Направление выпуклости графика определяется знаком ее второй производной: если $y'' > 0$ на интервале, то функция на этом интервале выпукла вниз (вогнута), а если $y'' < 0$ — то выпукла вверх.

Рассмотрим знак $y'' = \frac{2k}{x^3}$ на двух промежутках области определения ($x \neq 0$):

При $x > 0$:
На этом интервале $x^3 > 0$. Поскольку по условию $k > 0$, числитель $2k$ также положителен. Следовательно, $y'' = \frac{2k}{x^3}$ является отношением двух положительных величин, значит $y'' > 0$.
Это означает, что при $x > 0$ функция выпукла вниз.

При $x < 0$:
На этом интервале $x^3 < 0$. Числитель $2k$ положителен ($k > 0$). Следовательно, $y'' = \frac{2k}{x^3}$ является отношением положительной величины к отрицательной, значит $y'' < 0$.
Это означает, что при $x < 0$ функция выпукла вверх.

3. Вывод
Мы установили, что функция $y = \frac{k}{x}$ (при $k > 0$) выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$. Это в точности соответствует утверждению из пункта в).

Ответ: в)

10. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения направления выпуклости графика функции необходимо исследовать знак ее второй производной. Если вторая производная $y'' > 0$ на некотором интервале, то функция на этом интервале выпукла вниз (вогнута). Если $y'' < 0$, то функция выпукла вверх.

Рассмотрим функцию $y = \frac{k}{x}$. Область определения функции: $x \ne 0$.

1. Найдем первую производную функции. Для этого представим ее в виде $y = kx^{-1}$:

$y' = (kx^{-1})' = k \cdot (-1)x^{-2} = -kx^{-2} = -\frac{k}{x^2}$

2. Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую:

$y'' = (-kx^{-2})' = -k \cdot (-2)x^{-3} = 2kx^{-3} = \frac{2k}{x^3}$

3. Проанализируем знак второй производной $y'' = \frac{2k}{x^3}$ на двух интервалах, учитывая заданное условие $k < 0$.

• Интервал $x > 0$
  В этом случае знаменатель $x^3$ положителен ($x^3 > 0$).
  По условию $k < 0$, значит, числитель $2k$ отрицателен ($2k < 0$).
  Следовательно, вторая производная является отношением отрицательного числа к положительному, то есть $y'' < 0$.
  $y'' = \frac{2k}{x^3} = \frac{(-)}{(+)} < 0$
  На интервале $(0, +\infty)$ функция выпукла вверх.

• Интервал $x < 0$
  В этом случае знаменатель $x^3$ отрицателен ($x^3 < 0$).
  Числитель $2k$ также отрицателен ($2k < 0$).
  Следовательно, вторая производная является отношением отрицательного числа к отрицательному, то есть $y'' > 0$.
  $y'' = \frac{2k}{x^3} = \frac{(-)}{(-)} > 0$
  На интервале $(-\infty, 0)$ функция выпукла вниз.

Таким образом, при $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$. Сравним этот вывод с предложенными вариантами.

а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$

Данное утверждение полностью совпадает с результатами нашего анализа.

Ответ: а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$.

11. Перечислите свойства функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$.

Функция $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ называется обратной пропорциональностью. Её основные свойства:

Область определения: Функция определена для всех действительных значений аргумента $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, следовательно, $x \ne 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: Поскольку $k > 0$, числитель дроби никогда не равен нулю, значит и сама дробь не может быть равна нулю. Функция может принимать любые другие действительные значения, так как для любого $y_0 \ne 0$ можно найти соответствующий $x_0 = \frac{k}{y_0}$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Четность: Проверим значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$).
Ответ: Функция нечетная.

Нули функции: Функция обращается в ноль, если ее числитель равен нулю. В данном случае числитель равен $k$, а по условию $k > 0$. Следовательно, у функции нет нулей. График функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$).
Ответ: Нулей нет.

Промежутки знакопостоянства: Знак функции зависит от знака $x$.
- Если $x > 0$, то, так как $k > 0$, значение функции $y = \frac{k}{x}$ будет положительным.
- Если $x < 0$, то, так как $k > 0$, значение функции $y = \frac{k}{x}$ будет отрицательным.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Монотонность: Найдем производную функции: $y' = (\frac{k}{x})' = (k \cdot x^{-1})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$. Поскольку по условию $k > 0$ и $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' < 0$ на всей области определения. Следовательно, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Экстремумы: Так как производная функции $y' = -\frac{k}{x^2}$ никогда не равна нулю и существует во всей области определения функции, у функции нет критических точек и, следовательно, нет точек экстремума (локальных максимумов и минимумов).
Ответ: Точек экстремума нет.

Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: при $x$, стремящемся к нулю, знаменатель дроби стремится к нулю, а значение функции стремится к бесконечности ($\lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} \frac{k}{x} = -\infty$). Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
- Горизонтальная асимптота: при $x$, стремящемся к бесконечности (как к $+\infty$, так и к $-\infty$), значение функции стремится к нулю ($\lim_{x \to \pm\infty} \frac{k}{x} = 0$). Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Непрерывность: Функция является непрерывной на всей своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.
Ответ: Функция непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ и имеет точку разрыва $x=0$.

График: Графиком функции является гипербола. Так как коэффициент $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Ответ: График — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

12. Перечислите свойства функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$.

Область определения

Функция $y = \frac{k}{x}$ является дробно-рациональной. Её область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель $x$ равен нулю при $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений

Так как $k < 0$, числитель дроби не равен нулю, следовательно, значение функции $y$ никогда не может быть равно нулю. Для любого другого ненулевого значения $y$ можно найти соответствующее значение $x$ из уравнения $x = \frac{k}{y}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Уравнение $\frac{k}{x} = 0$ не имеет решений, поскольку $k \neq 0$.

Ответ: нулей у функции нет.

Четность и нечетность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: функция нечетная.

Промежутки знакопостоянства

Знак функции зависит от знака переменной $x$, так как по условию коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).
Если $x > 0$, то $y$ является частным отрицательного и положительного чисел, то есть $y < 0$.
Если $x < 0$, то $y$ является частным двух отрицательных чисел, то есть $y > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности

Найдем производную функции: $y' = (\frac{k}{x})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.Поскольку $k < 0$, то $-k > 0$. Знаменатель $x^2$ положителен для любого $x$ из области определения.Следовательно, производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ всегда положительна.

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения, то есть на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Точки экстремума

Поскольку производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ нигде не обращается в ноль, у функции нет стационарных точек, а значит, нет и точек экстремума (локальных максимумов и минимумов).

Ответ: точек экстремума нет.

Асимптоты

Вертикальная асимптота: при $x \to 0$ знаменатель стремится к нулю, а функция — к бесконечности. Так как $k < 0$, то $\lim_{x \to 0^-} \frac{k}{x} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = -\infty$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ значение функции стремится к нулю: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{k}{x} = 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота — $x=0$; горизонтальная асимптота — $y=0$.

График функции

Графиком функции является гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй ($x < 0, y > 0$) и четвертой ($x > 0, y < 0$) координатных четвертях.

Ответ: график — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

19.45 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2$. Найдите:

а) $f(0)$, $f(1)$, $f(-3)$, $f(\frac{1}{4})$;

б) $f(a)$, $f(4a)$, $f(-2a)$, $f(-0.5a)$;

в) $f(a + 1)$, $f(b - 2)$, $f(x - 3)$, $f(x + 9)$;

г) $f(a) + 1$, $f(x) - 2$, $f(a) + b$, $f(x) - a$.

Дана функция $f(x) = 2x^2$. Для нахождения значений функции при различных аргументах необходимо подставить значение аргумента вместо $x$ в формулу функции.

а)

Вычисляем значения функции для числовых аргументов:

$f(0) = 2 \cdot 0^2 = 2 \cdot 0 = 0$

$f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 = 2$

$f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18$

$f(\frac{1}{4}) = 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Ответ: $f(0)=0$; $f(1)=2$; $f(-3)=18$; $f(\frac{1}{4})=\frac{1}{8}$.

б)

Вычисляем значения функции для аргументов, выраженных через переменную $a$:

$f(a) = 2 \cdot a^2 = 2a^2$

$f(4a) = 2 \cdot (4a)^2 = 2 \cdot (16a^2) = 32a^2$

$f(-2a) = 2 \cdot (-2a)^2 = 2 \cdot (4a^2) = 8a^2$

$f(-0,5a) = 2 \cdot (-0,5a)^2 = 2 \cdot (0,25a^2) = 0,5a^2$

Ответ: $f(a)=2a^2$; $f(4a)=32a^2$; $f(-2a)=8a^2$; $f(-0,5a)=0,5a^2$.

в)

Вычисляем значения функции для аргументов, являющихся алгебраическими выражениями. Используем формулы сокращенного умножения:

$f(a + 1) = 2(a + 1)^2 = 2(a^2 + 2a + 1) = 2a^2 + 4a + 2$

$f(b - 2) = 2(b - 2)^2 = 2(b^2 - 4b + 4) = 2b^2 - 8b + 8$

$f(x - 3) = 2(x - 3)^2 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2x^2 - 12x + 18$

$f(x + 9) = 2(x + 9)^2 = 2(x^2 + 18x + 81) = 2x^2 + 36x + 162$

Ответ: $f(a+1)=2a^2+4a+2$; $f(b-2)=2b^2-8b+8$; $f(x-3)=2x^2-12x+18$; $f(x+9)=2x^2+36x+162$.

г)

В данном случае сначала находится значение функции, а затем к нему прибавляется или от него вычитается заданное выражение.

$f(a) + 1 = (2a^2) + 1 = 2a^2 + 1$

$f(x) - 2 = (2x^2) - 2 = 2x^2 - 2$

$f(a) + b = (2a^2) + b = 2a^2 + b$

$f(x) - a = (2x^2) - a = 2x^2 - a$

Ответ: $f(a)+1=2a^2+1$; $f(x)-2=2x^2-2$; $f(a)+b=2a^2+b$; $f(x)-a=2x^2-a$.

19.46 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -4x^2$. Найдите:

a) $f(1)$, $f(-2)$, $f(0)$, $f(\frac{1}{4});$

б) $f(a)$, $f(-a)$, $f(-2a)$, $f(5a);$

в) $f(a + 2)$, $f(a - 3)$, $f(x - 1)$, $f(x + 6);$

г) $f(a) + 1$, $f(x) - 5$, $f(x + 2) - 1$, $f(x - c) + d.$

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -4x^2$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент вместо $x$ в формулу функции.

а)

Вычисляем значения функции для числовых аргументов:

$f(1) = -4 \cdot 1^2 = -4 \cdot 1 = -4$

$f(-2) = -4 \cdot (-2)^2 = -4 \cdot 4 = -16$

$f(0) = -4 \cdot 0^2 = -4 \cdot 0 = 0$

$f(\frac{1}{4}) = -4 \cdot (\frac{1}{4})^2 = -4 \cdot \frac{1}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $f(1) = -4$; $f(-2) = -16$; $f(0) = 0$; $f(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$.

б)

Вычисляем значения функции для аргументов, выраженных через переменную $a$:

$f(a) = -4 \cdot a^2 = -4a^2$

$f(-a) = -4 \cdot (-a)^2 = -4 \cdot a^2 = -4a^2$

$f(-2a) = -4 \cdot (-2a)^2 = -4 \cdot (4a^2) = -16a^2$

$f(5a) = -4 \cdot (5a)^2 = -4 \cdot (25a^2) = -100a^2$

Ответ: $f(a) = -4a^2$; $f(-a) = -4a^2$; $f(-2a) = -16a^2$; $f(5a) = -100a^2$.

в)

Вычисляем значения функции для составных аргументов. Используем формулу квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$ и квадрата разности $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$:

$f(a + 2) = -4 \cdot (a + 2)^2 = -4 \cdot (a^2 + 4a + 4) = -4a^2 - 16a - 16$

$f(a - 3) = -4 \cdot (a - 3)^2 = -4 \cdot (a^2 - 6a + 9) = -4a^2 + 24a - 36$

$f(x - 1) = -4 \cdot (x - 1)^2 = -4 \cdot (x^2 - 2x + 1) = -4x^2 + 8x - 4$

$f(x + 6) = -4 \cdot (x + 6)^2 = -4 \cdot (x^2 + 12x + 36) = -4x^2 - 48x - 144$

Ответ: $f(a + 2) = -4a^2 - 16a - 16$; $f(a - 3) = -4a^2 + 24a - 36$; $f(x - 1) = -4x^2 + 8x - 4$; $f(x + 6) = -4x^2 - 48x - 144$.

г)

Находим выражения, включающие значения функции:

$f(a) + 1 = (-4a^2) + 1 = 1 - 4a^2$

$f(x) - 5 = (-4x^2) - 5 = -4x^2 - 5$

$f(x + 2) - 1 = -4 \cdot (x + 2)^2 - 1 = -4 \cdot (x^2 + 4x + 4) - 1 = (-4x^2 - 16x - 16) - 1 = -4x^2 - 16x - 17$

$f(x - c) + d = -4 \cdot (x - c)^2 + d = -4 \cdot (x^2 - 2xc + c^2) + d = -4x^2 + 8xc - 4c^2 + d$

Ответ: $f(a) + 1 = 1 - 4a^2$; $f(x) - 5 = -4x^2 - 5$; $f(x + 2) - 1 = -4x^2 - 16x - 17$; $f(x - c) + d = -4x^2 + 8xc - 4c^2 + d$.

19.47 Пусть A — наибольшее значение функции $y = 3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, а B — наибольшее значение функции $y = -\frac{1}{7}x^2$ на отрезке $[-1; 1]$.

Сравните A и B. Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение A — наибольшего значения функции $y=3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$

Функция $y = 3x^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и это точка глобального минимума функции.
Нам нужно найти наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$. Поскольку точка минимума ($x=0$) находится внутри этого отрезка, наибольшее значение будет достигаться на границах отрезка, то есть в точках $x=-1$ и $x=1$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$
$y(1) = 3 \cdot (1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 3.

Ответ: $A = 3$.

Нахождение B — наибольшего значения функции $y=-\frac{1}{7}x^2$ на отрезке $[-1; 1]$

Функция $y = -\frac{1}{7}x^2$ также является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\frac{1}{7} < 0$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и это точка глобального максимума функции.
Поскольку точка максимума ($x=0$) принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наибольшее значение на этом отрезке функция принимает именно в этой точке.
Вычислим значение функции в вершине:
$y(0) = -\frac{1}{7} \cdot (0)^2 = 0$
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 0.

Ответ: $B = 0$.

Сравнение A и B

Мы получили значения $A=3$ и $B=0$.
Сравнивая их, видим, что $3 > 0$.
Следовательно, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y=3x^2$ (синяя линия) и $y=-\frac{1}{7}x^2$ (красная линия) на отрезке $x \in [-1; 1]$.

На графике видно, что наибольшее значение функции $y=3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$ достигается в точках $x=-1$ и $x=1$ и равно $A=3$. Наибольшее значение функции $y=-\frac{1}{7}x^2$ на том же отрезке достигается в точке $x=0$ и равно $B=0$. Таким образом, графическая иллюстрация подтверждает, что $A > B$.

19.48 Пусть $C$ — наибольшее значение функции $y = 4x^2$ на отрезке $[-1; 0]$, а $D$ — наименьшее значение функции $y = 3 + x$ на луче $[1; +\infty)$. Сравните $C$ и $D$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение C

Необходимо найти наибольшее значение функции $y = 4x^2$ на отрезке $[-1; 0]$. Функция $y = 4x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Чтобы определить поведение функции на отрезке $[-1; 0]$, найдем её производную: $y' = (4x^2)' = 8x$. На интервале $(-1; 0)$ значение производной $y'$ отрицательно, следовательно, функция на этом интервале является убывающей. Наибольшее значение убывающей функции на замкнутом отрезке достигается в его левой конечной точке. Вычислим значение функции в точке $x = -1$:

$C = y(-1) = 4 \cdot (-1)^2 = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: $C=4$.

Нахождение D

Необходимо найти наименьшее значение функции $y = 3 + x$ на луче $[1; +\infty)$. Функция $y = 3 + x$ является линейной. Её угловой коэффициент (производная) $y' = 1$ является положительным числом, значит, функция возрастает на всей своей области определения. Наименьшее значение возрастающей функции на луче вида $[a; +\infty)$ достигается в его начальной точке, то есть при $x=a$. Вычислим значение функции в точке $x = 1$:

$D = y(1) = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $D=4$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C=4$ и $D=4$. Сравнивая их, приходим к выводу, что они равны.

Ответ: $C=D$.

Графическая иллюстрация

Для наглядности построим графики функций $y = 4x^2$ на отрезке $[-1; 0]$ и $y = 3 + x$ на луче $[1; +\infty)$.

На графике синим цветом показан фрагмент параболы $y=4x^2$ на отрезке $[-1;0]$. Ее наибольшее значение $C=4$ достигается в точке $(-1, 4)$, которая отмечена зеленым цветом. Красным цветом показан луч, являющийся частью прямой $y=3+x$ при $x \ge 1$. Его наименьшее значение $D=4$ достигается в точке $(1, 4)$, которая отмечена фиолетовым цветом. График наглядно показывает, что точки, соответствующие значениям C и D, находятся на одной горизонтальной линии $y=4$, что подтверждает равенство $C=D$.

19.49 Пусть $M$ — наименьшее значение функции $y = 2x$ на отрезке $[2; 5]$, а $N$ — наибольшее значение функции $y = -5x^2$ на луче $(-\infty; 0]$. Сравните $M$ и $N$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение наименьшего значения M
Требуется найти наименьшее значение функции $y = 2x$ на отрезке $[2; 5]$.
Данная функция является линейной, её график — прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k=2$ положителен, функция является возрастающей на всей числовой оси.
На отрезке $[2; 5]$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в левой границе отрезка, то есть при $x = 2$.
Вычислим это значение:
$M = y(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $M = 4$.

Нахождение наибольшего значения N
Требуется найти наибольшее значение функции $y = -5x^2$ на луче $(-\infty; 0]$.
Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-5$ (отрицателен), ветви параболы направлены вниз.
Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине. Координата вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $b=0$, поэтому вершина находится в точке $x_v = 0$.
Точка $x = 0$ принадлежит рассматриваемому лучу $(-\infty; 0]$, следовательно, наибольшее значение функции на этом луче достигается именно в ней.
Вычислим это значение:
$N = y(0) = -5 \cdot 0^2 = 0$.
Ответ: $N = 0$.

Сравнение M и N
Мы получили значения $M = 4$ и $N = 0$.
Сравнивая эти числа, получаем $4 > 0$.
Следовательно, $M > N$.
Ответ: $M > N$.

Графическая иллюстрация
Построим графики заданных функций на указанных промежутках.
1. График функции $y = 2x$ на отрезке $[2; 5]$ — это отрезок прямой (на графике синего цвета), соединяющий точки $(2; 4)$ и $(5; 10)$. Наименьшее значение $M=4$ достигается в точке $(2; 4)$.
2. График функции $y = -5x^2$ на луче $(-\infty; 0]$ — это левая ветвь параболы (на графике красного цвета) с вершиной в точке $(0; 0)$. Наибольшее значение $N=0$ достигается в вершине.
На графике наглядно показаны обе функции и точки, соответствующие значениям M и N.

19.50 Пусть $L$ — наименьшее значение функции $y = 1,8x^2$ на луче $[0; +\infty)$, а $K$ — наименьшее значение функции $y = -3x + 1$ на отрезке $[-1; 0]$. Сравните $K$ и $L$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение L. Рассмотрим функцию $y = 1,8x^2$ на луче $[0; +∞)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх, так как коэффициент перед $x^2$ положителен ($1,8 > 0$). На луче $[0; +∞)$ эта функция является монотонно возрастающей. Следовательно, своё наименьшее значение она принимает в начальной точке этого промежутка, то есть при $x=0$. Вычислим это значение: $L = y(0) = 1,8 \cdot 0^2 = 0$.
Ответ: $L=0$.

Нахождение K. Рассмотрим функцию $y = -3x + 1$ на отрезке $[-1; 0]$. Это линейная функция, её угловой коэффициент $k = -3$. Поскольку коэффициент отрицателен ($k < 0$), функция является монотонно убывающей на всей области определения, в том числе и на отрезке $[-1; 0]$. На заданном отрезке убывающая функция принимает своё наименьшее значение в правой граничной точке, то есть при $x=0$. Вычислим это значение: $K = y(0) = -3 \cdot 0 + 1 = 1$.
Ответ: $K=1$.

Сравнение K и L. Мы определили значения $L=0$ и $K=1$. Сравнивая их, получаем, что $1 > 0$. Таким образом, $K > L$.
Ответ: $K > L$.

Графическая иллюстрация.
Построим графики функций на заданных промежутках.

• График функции $y=1,8x^2$ на $[0; +∞)$ — это правая ветвь параболы, выходящая из начала координат. Наименьшее значение $L=0$ достигается в точке $(0;0)$.
• График функции $y=-3x+1$ на $[-1; 0]$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1; 4)$ и $(0; 1)$. Наименьшее значение $K=1$ достигается в точке $(0;1)$.

19.51 Пусть $P$ — наибольшее значение функции $y = -702x^2$ на луче $[0; +\infty)$, а $Q$ — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 1]$. Не выполняя построения, сравните $P$ и $Q$.

Нахождение P
По условию, $P$ — это наибольшее значение функции $y = -702x^2$ на луче $[0; +\infty)$.
Функция $y = -702x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-702 < 0$). Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x=0$ принадлежит лучу $[0; +\infty)$.
Следовательно, наибольшее значение функции на данном луче равно ее значению в точке $x=0$.
$P = y(0) = -702 \cdot 0^2 = 0$.
Ответ: $P = 0$.

Нахождение Q
По условию, $Q$ — это наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 1]$.
Функция $y = x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно ее значению в точке $x=0$.
$Q = y(0) = 0^2 = 0$.
Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q
Мы нашли значения $P=0$ и $Q=0$. Сравнивая их, приходим к выводу, что значения $P$ и $Q$ равны.
Ответ: $P = Q$.