Номер 19.47, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.47, страница 110.

Условие.

19.47 Пусть A — наибольшее значение функции $y = 3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, а B — наибольшее значение функции $y = -\frac{1}{7}x^2$ на отрезке $[-1; 1]$.

Сравните A и B. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение A — наибольшего значения функции $y=3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$

Функция $y = 3x^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и это точка глобального минимума функции.
Нам нужно найти наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$. Поскольку точка минимума ($x=0$) находится внутри этого отрезка, наибольшее значение будет достигаться на границах отрезка, то есть в точках $x=-1$ и $x=1$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$
$y(1) = 3 \cdot (1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 3.

Ответ: $A = 3$.

Нахождение B — наибольшего значения функции $y=-\frac{1}{7}x^2$ на отрезке $[-1; 1]$

Функция $y = -\frac{1}{7}x^2$ также является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\frac{1}{7} < 0$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и это точка глобального максимума функции.
Поскольку точка максимума ($x=0$) принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наибольшее значение на этом отрезке функция принимает именно в этой точке.
Вычислим значение функции в вершине:
$y(0) = -\frac{1}{7} \cdot (0)^2 = 0$
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 0.

Ответ: $B = 0$.

Сравнение A и B

Мы получили значения $A=3$ и $B=0$.
Сравнивая их, видим, что $3 > 0$.
Следовательно, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y=3x^2$ (синяя линия) и $y=-\frac{1}{7}x^2$ (красная линия) на отрезке $x \in [-1; 1]$.

На графике видно, что наибольшее значение функции $y=3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$ достигается в точках $x=-1$ и $x=1$ и равно $A=3$. Наибольшее значение функции $y=-\frac{1}{7}x^2$ на том же отрезке достигается в точке $x=0$ и равно $B=0$. Таким образом, графическая иллюстрация подтверждает, что $A > B$.