Номер 19.42, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.42, страница 109.

Условие.

19.42 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 3x + 2, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-2), f(0), f(1);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $ f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ 3x+2, & \text{если } x > 0 \end{cases} $ необходимо рассмотреть две ее части на указанных промежутках.

1. На промежутке $ [-2; 0] $ функция задается формулой $ y = 2x^2 $. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $ (0; 0) $. Для построения найдем координаты нескольких точек:
- при $ x = -2 $, $ y = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8 $. Координаты точки $ (-2; 8) $.
- при $ x = -1 $, $ y = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2 $. Координаты точки $ (-1; 2) $.
- при $ x = 0 $, $ y = 2 \cdot 0^2 = 0 $. Координаты точки $ (0; 0) $.
Поскольку неравенство $ -2 \le x \le 0 $ нестрогое, точки на концах промежутка $ (-2; 8) $ и $ (0; 0) $ принадлежат графику и отмечаются закрашенными точками.

2. На промежутке $ x > 0 $ функция задается формулой $ y = 3x + 2 $. Это луч (часть прямой). Для его построения найдем координаты двух точек:
- Найдем точку, из которой "выходит" луч. При $ x=0 $ (хотя это значение не входит в промежуток), $ y = 3 \cdot 0 + 2 = 2 $. Точка $ (0; 2) $ не принадлежит графику, так как неравенство $ x > 0 $ строгое. На графике она отмечается "выколотой" (пустым кружком).
- Возьмем любую точку, где $ x > 0 $, например $ x = 2 $. Тогда $ y = 3 \cdot 2 + 2 = 8 $. Точка $ (2; 8) $ принадлежит графику.
Проводим луч из выколотой точки $ (0; 2) $ через точку $ (2; 8) $.

Объединив обе части, получаем искомый график. Теперь с помощью графика найдем требуемые значения.

а) $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$
Для нахождения значения функции по значению аргумента, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить ее ординату.
- Для $ x = -2 $, аргумент попадает в промежуток $ [-2; 0] $, поэтому используем формулу $ f(x) = 2x^2 $. Получаем $ f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 = 8 $.
- Для $ x = 0 $, аргумент попадает в промежуток $ [-2; 0] $, поэтому используем формулу $ f(x) = 2x^2 $. Получаем $ f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0 $. На графике это закрашенная точка в начале координат.
- Для $ x = 1 $, аргумент попадает в промежуток $ x > 0 $, поэтому используем формулу $ f(x) = 3x + 2 $. Получаем $ f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5 $.
Ответ: $ f(-2) = 8 $, $ f(0) = 0 $, $ f(1) = 5 $.

б) значения $ x $, при которых $ f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = 8 $
Для нахождения значений $ x $ по известному значению функции $ y=f(x) $, нужно провести горизонтальную прямую $ y=k $ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.
- $ f(x) = 2 $: Проводим горизонтальную прямую $ y = 2 $. Она пересекает параболу $ y = 2x^2 $. Решим уравнение $ 2x^2 = 2 $, что дает $ x^2 = 1 $. Учитывая, что для этой части графика $ -2 \le x \le 0 $, выбираем корень $ x = -1 $. Прямая $ y = 2 $ также проходит через выколотую точку $ (0; 2) $, но так как эта точка не принадлежит графику, решения здесь нет. Таким образом, единственное решение $ x = -1 $.
- $ f(x) = 0 $: Прямая $ y = 0 $ (ось абсцисс) пересекает график в точке $ (0; 0) $. Это соответствует уравнению $ 2x^2 = 0 $, откуда $ x = 0 $. Это значение принадлежит промежутку $ [-2; 0] $. Вторая часть графика, $ y=3x+2 $, не пересекает ось $ Ox $ при $ x>0 $ (так как $ 3x+2 > 2 $). Следовательно, единственное решение $ x = 0 $.
- $ f(x) = 8 $: Прямая $ y = 8 $ пересекает график в двух точках. 1) Первая точка пересечения находится на параболе $ y = 2x^2 $. Решаем уравнение $ 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 $. Учитывая промежуток $ [-2; 0] $, получаем $ x = -2 $. 2) Вторая точка пересечения находится на прямой $ y = 3x + 2 $. Решаем уравнение $ 3x + 2 = 8 \implies 3x = 6 \implies x = 2 $. Это значение удовлетворяет условию $ x > 0 $. Таким образом, получаем два решения: $ x = -2 $ и $ x = 2 $.
Ответ: при $ f(x) = 2 $ $ x = -1 $; при $ f(x) = 0 $ $ x = 0 $; при $ f(x) = 8 $ $ x = -2 $ и $ x = 2 $.