Номер 19.44, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.44, страница 109.

Условие.

19.44 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -|x|, \text{ если } -4 \le x \le 2; \\ 0,5x^2, \text{ если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-2), f(2), f(4);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = -1, f(x) = 2, f(x) = 4,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $f(x)$ нужно рассмотреть два интервала, на которых она задана по-разному.

1. На интервале $-4 \le x \le 2$ функция задана формулой $f(x) = -|x|$. Графиком этой функции является перевернутая "галочка", симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0, 0)$. Для построения найдем значения на концах интервала и в вершине:

• $f(-4) = -|-4| = -4$. Точка $(-4, -4)$.
• $f(0) = -|0| = 0$. Точка $(0, 0)$.
• $f(2) = -|2| = -2$. Точка $(2, -2)$.

Соединяем эти точки отрезками прямых. Так как неравенство нестрогое, все точки на этом участке, включая концы, принадлежат графику.

2. На интервале $2 < x \le 4$ функция задана формулой $f(x) = 0.5x^2$. Графиком этой функции является ветвь параболы, направленная вверх. Найдем значения на концах интервала:

• При $x$, стремящемся к 2 справа, $f(x)$ стремится к $0.5 \cdot 2^2 = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 2)$ не принадлежит графику, и мы отмечаем ее "выколотой" (пустым кружком).
• $f(4) = 0.5 \cdot 4^2 = 0.5 \cdot 16 = 8$. Точка $(4, 8)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое ($x \le 4$).
• Для более точного построения найдем еще одну точку, например, $f(3) = 0.5 \cdot 3^2 = 4.5$. Точка $(3, 4.5)$.

Соединяем эти точки плавной кривой (частью параболы).

Итоговый график состоит из двух частей: ломаной линии от $(-4, -4)$ до $(2, -2)$ через $(0, 0)$ и участка параболы от "выколотой" точки $(2, 2)$ до точки $(4, 8)$.

Теперь с помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) f(-2), f(2), f(4)

Чтобы найти значение функции в точке, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить ее ординату.

• Для нахождения $f(-2)$, смотрим на график при $x=-2$. Эта точка попадает на первую часть графика, $y=-|x|$. Ордината равна $-|-2| = -2$.
• Для нахождения $f(2)$, смотрим на график при $x=2$. Эта точка также принадлежит первой части графика (так как интервал $-4 \le x \le 2$ включает 2). Ордината равна $-|2| = -2$.
• Для нахождения $f(4)$, смотрим на график при $x=4$. Эта точка принадлежит второй части графика ($2 < x \le 4$). Ордината равна $0.5 \cdot 4^2 = 8$.

Ответ: $f(-2) = -2$, $f(2) = -2$, $f(4) = 8$.

б) значения x, при которых f(x) = -1, f(x) = 2, f(x) = 4,5

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, нужно провести горизонтальную прямую $y=k$ (где $k$ - это заданное число) и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с графиком функции $y=f(x)$.

• $f(x) = -1$: Проводим прямую $y=-1$. Она пересекает первую часть графика ($y=-|x|$) в двух точках. Чтобы найти их абсциссы, решим уравнение $-|x| = -1$, или $|x|=1$. Отсюда $x=1$ и $x=-1$. Обе точки принадлежат интервалу $[-4, 2]$.
• $f(x) = 2$: Проводим прямую $y=2$. Эта прямая не пересекает первую часть графика, так как на интервале $[-4, 2]$ максимальное значение функции равно 0. На втором интервале $(2, 4]$ значения функции лежат в промежутке $(2, 8]$. Так как левая граница (значение 2) не включается, прямая $y=2$ не имеет точек пересечения с графиком. Следовательно, нет таких значений $x$, при которых $f(x)=2$.
• $f(x) = 4.5$: Проводим прямую $y=4.5$. Эта прямая пересекает вторую часть графика ($y=0.5x^2$) в одной точке. Чтобы найти ее абсциссу, решим уравнение $0.5x^2 = 4.5$. Отсюда $x^2 = 9$, что дает $x=3$ или $x=-3$. Из этих двух значений только $x=3$ принадлежит интервалу $(2, 4]$.

Ответ: при $f(x)=-1$, $x=-1$ и $x=1$; при $f(x)=2$ решений нет; при $f(x)=4.5$, $x=3$.