Номер 19.39, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.39, страница 109.

Условие.

19.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } -1 \le x \le 1; \\ 2, \text{ если } 1 < x \le 6. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1), f(6), f(1).$

б) Постройте график функции $y = f(x).$

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти значения функции $f(-1)$, $f(6)$ и $f(1)$, необходимо определить, какому интервалу из определения функции принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

Для $x = -1$: этот аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1 \le -1 \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x^2$.
$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Для $x = 6$: этот аргумент принадлежит полуинтервалу $(1, 6]$, так как $1 < 6 \le 6$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2$.
$f(6) = 2$.

Для $x = 1$: этот аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1 \le 1 \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x^2$.
$f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $f(-1) = 2$, $f(6) = 2$, $f(1) = 2$.

б) График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график функции $y = 2x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Вычислим значения в контрольных точках: $f(-1) = 2$, точка $(-1, 2)$; $f(0) = 0$, точка $(0, 0)$; $f(1) = 2$, точка $(1, 2)$. Соединяем эти точки плавной кривой.

2. На полуинтервале $(1, 6]$ строим график функции $y = 2$. Это отрезок горизонтальной прямой, проходящей через $y=2$. Левый конец отрезка, точка $(1, 2)$, не входит в этот промежуток (была бы "выколотой"), но она уже включена в первую часть графика. Правый конец, точка $(6, 2)$, принадлежит графику, так как $x=6$ входит в промежуток.

В результате получаем единый непрерывный график: участок параболы от $(-1, 2)$ до $(1, 2)$ через точку $(0, 0)$, который в точке $(1, 2)$ переходит в горизонтальный отрезок до точки $(6, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой участок параболы $y=2x^2$ на отрезке $[-1, 1]$, соединенный с горизонтальным отрезком прямой $y=2$ на полуинтервале $(1, 6]$.

в) Основные свойства функции $y=f(x)$:

1. Область определения: $D(f) = [-1, 6]$.
2. Область значений: $E(f) = [0, 2]$.
3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in [-1, 0) \cup (0, 6]$. Функция не принимает отрицательных значений.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на отрезке $[-1, 0]$, возрастает на отрезке $[0, 1]$ и постоянна на отрезке $[1, 6]$.
6. Экстремумы функции: $x_{min} = 0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 0$. Максимальное значение $y_{max} = 2$ достигается при $x = -1$ и на всем отрезке $[1, 6]$.
7. Четность, нечетность: Область определения $D(f) = [-1, 6]$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-1, 6]$.

Ответ: Основные свойства функции: область определения $D(f) = [-1, 6]$; область значений $E(f) = [0, 2]$; нуль функции $x=0$; функция убывает на $[-1,0]$, возрастает на $[0,1]$ и постоянна на $[1,6]$; $y_{min}=0$, $y_{max}=2$; функция общего вида, непрерывная.