Номер 19.34, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.34, страница 108.

Условие.

19.34 а) $\begin{cases} y = -4x^2, \\ y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{3}x^2, \\ y = -|x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 3x^2, \\ y = x - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -2x^2, \\ y = \sqrt{x}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -4x^2 \\ y = 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны (обе равны $y$):

$-4x^2 = 1$

Разделим обе части на -4:

$x^2 = -\frac{1}{4}$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, графики функций не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x^2 \\ y = -|x| \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x^2 = -|x|$

Проанализируем это уравнение. Левая часть, $\frac{1}{3}x^2$, всегда неотрицательна (то есть $\ge 0$) для любого значения $x$. Правая часть, $-|x|$, всегда неположительна (то есть $\le 0$) для любого значения $x$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

$\frac{1}{3}x^2 = 0 \implies x = 0$

$-|x| = 0 \implies x = 0$

Таким образом, единственное решение для $x$ - это $x=0$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из исходных уравнений:

$y = \frac{1}{3}(0)^2 = 0$

Единственная точка пересечения графиков - $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

в)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x^2 \\ y = x - 3 \end{cases} $

Приравняем правые части:

$3x^2 = x - 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для этого уравнения, где $a=3$, $b=-1$, $c=3$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики параболы и прямой не пересекаются.

Ответ: нет решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -2x^2 \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Область допустимых значений для уравнения $y = \sqrt{x}$ - это $x \ge 0$.

Приравняем правые части уравнений:

$-2x^2 = \sqrt{x}$

В области допустимых значений ($x \ge 0$) левая часть уравнения, $-2x^2$, всегда неположительна ($\le 0$). Правая часть, $\sqrt{x}$, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.

$-2x^2 = 0 \implies x = 0$

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$

Единственное решение для $x$ - это $x=0$. Оно удовлетворяет области допустимых значений.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из уравнений:

$y = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, графики функций пересекаются в одной точке $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.