Номер 19.29, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.29, страница 107.

Условие.

Решите графически систему уравнений:

19.29 а)$\begin{cases} y = 2x^2, \\ y = 2; \end{cases}$б)$\begin{cases} y = x^2, \\ y = 6; \end{cases}$в)$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2, \\ y = 2; \end{cases}$г)$\begin{cases} y = -x^2, \\ y = -5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 2 \end{cases} $ графически, необходимо построить графики функций $y = 2x^2$ и $y = 2$ в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. График функции $y = 2x^2$ представляет собой параболу. Ее вершина находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Она является растянутой по вертикали в два раза по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.

2. График функции $y = 2$ представляет собой прямую, которая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и проходит через точку $(0, 2)$ на оси ординат ($Oy$).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Чтобы найти их точные координаты, подставим $y = 2$ в первое уравнение:
$2 = 2x^2$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(-1; 2), (1; 2)$.

б)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 6 \end{cases} $ графически, построим графики функций $y = x^2$ и $y = 6$.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = 6$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 6)$.

На графике мы видим, что парабола и прямая пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Найдем их координаты, приравняв правые части уравнений:
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Ордината в обеих точках равна 6.

Ответ: $(-\sqrt{6}; 6), (\sqrt{6}; 6)$.

в)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 \\ y = 2 \end{cases} $ графически, построим графики указанных функций.

1. График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Она является сжатой по вертикали в два раза (или "более широкой") по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.

2. График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$.

Найдем точки пересечения, подставив $y=2$ в уравнение параболы:
$2 = \frac{1}{2}x^2$
$4 = x^2$
$x = \pm 2$
Координаты точек пересечения: $(2, 2)$ и $(-2, 2)$.

Ответ: $(-2; 2), (2; 2)$.

г)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = -x^2 \\ y = -5 \end{cases} $ графически, построим графики этих функций.

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола, симметричная стандартной параболе $y=x^2$ относительно оси $Ox$. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вниз.

2. График функции $y = -5$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем их точные координаты:
$-x^2 = -5$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$
Ордината точек пересечения равна -5.

Ответ: $(-\sqrt{5}; -5), (\sqrt{5}; -5)$.