Номер 19.22, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.22, страница 106.

Условие.

19.22 Изобразите схематически график функции:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху и снизу;

в) ограниченной сверху;

г) не ограниченной ни сверху, ни снизу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) ограниченной снизу;

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на своей области определения, если существует такое число $m$, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Геометрически это означает, что весь график функции расположен выше некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Эта прямая является нижней границей для графика.

Классическим примером функции, ограниченной снизу, является квадратичная функция $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, для этой функции выполняется неравенство $y \ge 0$. Таким образом, число 0 является ее нижней гранью.

Схематический график функции, ограниченной снизу:

На рисунке показан график функции (парабола), который не опускается ниже некоторого уровня. Пунктирная красная линия $y=m$ — это одна из возможных нижних границ.

Ответ: Схематический график представлен выше.

б) ограниченной сверху и снизу;

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Это означает, что существуют два числа $m$ и $M$ такие, что для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$. Геометрически это значит, что график функции полностью заключен в горизонтальной полосе между прямыми $y=m$ и $y=M$.

Примером ограниченной функции является тригонометрическая функция $y = \cos(x)$. Ее значения всегда находятся в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(x) \le 1$.

Схематический график функции, ограниченной сверху и снизу:

График (волнообразная кривая) целиком находится между двумя горизонтальными пунктирными линиями $y=m$ (нижняя граница) и $y=M$ (верхняя граница).

Ответ: Схематический график представлен выше.

в) ограниченной сверху;

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на своей области определения, если существует такое число $M$, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. Геометрически это означает, что весь график функции расположен ниже некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Эта прямая является верхней границей для графика.

Примером может служить парабола с ветвями, направленными вниз, например, $y = -x^2+1$. Максимальное значение этой функции равно 1, поэтому для нее выполняется неравенство $y \le 1$.

Схематический график функции, ограниченной сверху:

На рисунке показан график функции (перевернутая парабола), который не поднимается выше некоторого уровня. Пунктирная красная линия $y=M$ — это одна из возможных верхних границ.

Ответ: Схематический график представлен выше.

г) не ограниченной ни сверху, ни снизу.

Функция называется неограниченной (или неограниченной ни сверху, ни снизу), если она не является ограниченной ни сверху, ни снизу. Это означает, что для любого сколь угодно большого числа $M$ найдется такое значение $x$, что $f(x) > M$, и для любого сколь угодно малого (отрицательного) числа $m$ найдется такое $x$, что $f(x) < m$. Геометрически график такой функции уходит бесконечно вверх и бесконечно вниз.

Примерами таких функций являются любые линейные функции $y=kx+b$ (при $k \ne 0$), а также кубическая парабола $y = x^3$.

Схематический график функции, не ограниченной ни сверху, ни снизу:

График (кубическая парабола) уходит как в положительную, так и в отрицательную бесконечность по оси $y$, поэтому его нельзя заключить в горизонтальную полосу.

Ответ: Схематический график представлен выше.